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第117页

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$解: (2)存在。 $

 因为$S_{四边形ABOP}=2S_{\triangle AOP}，$所以$3 - m = 2\times(-m)，$

 移项得$2m - m=-3，$解得$m=-3。$

 所以存在点$P，$使得四边形$ABOP$的面积为$\triangle AOP$面积的$2$倍，$P(-3,\frac{1}{2})。$

 (3)因为$C(3,4)，$所以$OC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。$

 当$OC = OP = 5$时，点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)；$

 当$CO = CP$时，过点$C$作$CH\perp OP$于点$H，$$OH = HP = 3，$点$P$的坐标为$(6,0)；$

 当$PC = PO$时，设点$P$的坐标为$(t,0)，$则$PC^{2}=(t - 3)^{2}+4^{2}，$$t^{2}=(t - 3)^{2}+4^{2}，$

 展开得$t^{2}=t^{2}-6t + 9+16，$

 移项得$6t=25，$解得$t=\frac{25}{6}，$点$P$的坐标为$(\frac{25}{6},0)。$

 综上，点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)。$

解: (1)如图①，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-2)，$连接$A'B，$交$x$轴于点$P，$则汽车行驶过程中到$A，$$B$两村距离之和的最小为$A'B$的长。

 延长$A'B，$过点$B$作$A'A$的垂线，交$A'A$的延长线于点$C，$易得$C$点坐标为$(2,4)，$所以$A'C = 6，$$BC = 5。$

 在$Rt\triangle BCA'$中，$A'B=\sqrt{A'C^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}。$

 则汽车行驶过程中到$A，$$B$两村距离之和最小为$\sqrt{61}。$

 (2)如图②，延长$BA，$交$x$轴于点$P，$则此时汽车到$A，$$B$两村距离之差最大，为$AB$的长。

 过点$A$作$x$轴的平行线，过点$B$作$x$轴的垂线，两线交点为$D，$易得$D$点坐标为$(7,2)，$所以$AD = 5，$$BD = 2。$

 在$Rt\triangle BDA$中，$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}。$

 则汽车行驶过程中到$A，$$B$两村距离之差最大为$\sqrt{29}。$

$5$

$解:(2)∵d_{AB}=|2−4|+|3−2|=2+1=3,∴2d_{AB}=6$

$∵点C在第三象限， ∴m＜0,n＜0$

$∴d_{OC}=|0−m|+|0−n|=|m|+|n|=−m−n=−(m+n)$

$∵d_{OC}=2d_{AB},∴−(m+n)=6,即m+n=−6$

$∴d_{AC}=|2−m|+|3−n|=2−m+3−n=5−(m+n)=5+6=11$

$d_{BC}=|4−m|+|2−n|=4−m+2−n=6−(m+n)=6+6=12$

$∵3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11$

$∴△ABC不是“等距三角形”$

(3) $m\geqslant4$且$m\neq8$