解: (1) 因为$AB = BC，$$AC＞AB，$所以$a = c，$$b＞c。$
因为$\triangle ABC$是“类勾股三角形”，所以$ac + a^{2}=b^{2}，$即$c^{2}+a^{2}=b^{2}，$所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle A = 45^{\circ}。$
(2) ①等腰三角形，理由如下：
因为$AD = CD，$所以$\angle A=\angle ACD，$所以$\angle CDB=\angle ACD+\angle A = 2\angle A。$
又因为$\angle B = 2\angle A，$所以$\angle CDB=\angle B，$所以$\triangle CDB$是等腰三角形。
②由①得$CD = CB = a，$所以$AD = CD = a，$所以$DB=AB - AD=c - a。$
因为$CE\perp AB，$所以$DE = BE=\frac{1}{2}(c - a)，$所以$AE=AD + DE=\frac{1}{2}(c + a)。$
在$Rt\triangle ACE$中，$CE^{2}=AC^{2}-AE^{2}=b^{2}-\left[\frac{1}{2}(c + a)\right]^{2}，$在$Rt\triangle BCE$中，$CE^{2}=BC^{2}-BE^{2}=a^{2}-\left[\frac{1}{2}(c - a)\right]^{2}，$
所以$b^{2}-\left[\frac{1}{2}(c + a)\right]^{2}=a^{2}-\left[\frac{1}{2}(c - a)\right]^{2}，$
$b^{2}-\frac{1}{4}(c^{2}+2ac + a^{2})=a^{2}-\frac{1}{4}(c^{2}-2ac + a^{2})，$
$b^{2}-\frac{1}{4}c^{2}-\frac{1}{2}ac-\frac{1}{4}a^{2}=a^{2}-\frac{1}{4}c^{2}+\frac{1}{2}ac-\frac{1}{4}a^{2}，$
$b^{2}=ac + a^{2}，$所以$\triangle ABC$是“类勾股三角形”。
