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解：​$(1)$​当​$x = 1，$​​$y = - 6$​时，
​$ \begin {aligned}&(x - y)^2+2xy\\=&(1-(-6))^2+2×1×(-6)\\=&(1 + 6)^2-12\\=&49-12\\=&37\end {aligned}$​
解：​$(2)$​当​$x = 1，$​​$y = - 6$​时，
​$ \begin {aligned}&x^3-3x^2y + 3xy^2-y^3\\=&(x - y)^3\\=&(1-(-6))^3\\=&(1 + 6)^3\\=&343\end {aligned}$​
解：
$\begin{aligned}&2x^2-[3(-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}xy)-2y^2]-2(x^2-xy + 2y^2)\\=&2x^2-(-x^2 + 2xy-2y^2)-2x^2 + 2xy-4y^2\\=&2x^2+x^2-2xy + 2y^2-2x^2 + 2xy-4y^2\\=&x^2-2y^2\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}，$$y = - 1$时，
$\begin{aligned}&x^2-2y^2\\=&(\frac{1}{2})^2-2×(-1)^2\\=&\frac{1}{4}-2\\=&-\frac{7}{4}\end{aligned}$
解：$A + 5B=x^3-5x^2+5(x^2-11x + 6)=x^3-5x^2+5x^2-55x + 30=x^3-55x + 30$
当$x = - 1$时，
$\begin{aligned}&(-1)^3-55×(-1)+30\\=&-1 + 55+30\\=&84\end{aligned}$
2025
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