解：$(1)$分三种情况讨论：
$ ①$设购进甲种电视机$x$台，购进乙种电视机$(50 - x)$台。
根据题意，得$1500x + 2100(50 - x)=90000。$
去括号得：$1500x + 105000 - 2100x = 90000。$
移项得：$1500x - 2100x = 90000 - 105000。$
合并同类项得：$-600x=-15000。$
$ $系数化为$1$得：$x = 25，$
$ $此时$50 - x = 25。$
$ $所以购进甲种电视机$25$台，乙种电视机$25$台。
$ ②$设购进甲种电视机$y$台，购进丙种电视机$(50 - y)$台。
根据题意，得$1500y + 2500(50 - y)=90000。$
去括号得：$1500y + 125000 - 2500y = 90000。$
移项得：$1500y - 2500y = 90000 - 125000。$
合并同类项得：$-1000y=-35000。$
$ $系数化为$1$得：$y = 35，$
$ $此时$50 - y = 15。$
$ $所以购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15$台。
$ ③$设购进乙种电视机$m_{台}，$购进丙种电视机$(50 - m)$台。
根据题意，得$2100m + 2500(50 - m)=90000。$
去括号得：$2100m + 125000 - 2500m = 90000。$
移项得：$2100m - 2500m = 90000 - 125000。$
合并同类项得：$-400m=-35000。$
$ $系数化为$1$得：$m = 87.5($不合题意，舍去）。
综上所述，该商场有$2$种进货方案，方案一：购进甲种电视机$25$台，乙种电视机$25$台；
方案二：购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15$台。
$ (2)$方案一的利润为$25×150 + 25×200=3750 + 5000 = 8750($元$)，$
$ $方案二的利润为$35×150 + 15×250=5250 + 3750 = 9000($元$)。$
$ $因为$9000＞8750，$所以方案二获利多，即为使获利最多，应选择购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15$台。
