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第140页

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$-12$

$8 - 5t$

解：$(2)$分两种情况：

① 点$P，$$Q$相遇之前，则$3t + 5t+2 = 20，$

移项可得$3t + 5t=20 - 2，$

合并同类项得$8t = 18，$

解得$t = 2.25。$

② 点$P，$$Q$相遇之后，则$3t + 5t-2 = 20，$

移项可得$3t + 5t=20 + 2，$

合并同类项得$8t = 22，$

解得$t = 2.75。$

所以若点$P，$$Q$同时出发，则$2.25$秒或$2.75$秒时，$P，$$Q$两点之间的距离恰好等于$2。$

$2$

解：(2)根据题意，得$x + 3x = 10，$

合并同类项得$4x = 10，$

解得$x = 2.5，$

此时$BQ = 3x = 3×2.5 = 7.5。$

$ (3)$存在。根据题意，分三种情况讨论：

① 当点$Q$从点$B$出发未到达点$A，$

即$0<x<\frac{10}{3}$时，有$x = 2(10 - 3x)，$

去括号得$x = 20 - 6x，$

移项可得$x + 6x = 20，$

合并同类项得$7x = 20，$

解得$x=\frac{20}{7}。$

② 当点$Q$到达点$A$后，向点$B$运动，

即$\frac{10}{3}<x<\frac{20}{3}$时，有$x = 2(3x - 10)，$

去括号得$x = 6x - 20，$

移项可得$x - 6x=-20，$

合并同类项得$-5x=-20，$

解得$x = 4。$

③ 当点$Q$第一次返回到点$B$后，调头向点$A$运动，

即$\frac{20}{3}<x<10$时，有$x = 2(30 - 3x)，$

去括号得$x = 60 - 6x，$

移项可得$x + 6x = 60，$

合并同类项得$7x = 60，$

解得$x=\frac{60}{7}。$

综上所述，当$x=\frac{20}{7}$或$x = 4$或$x=\frac{60}{7}$时，点$Q$恰好落在线段$AP$的

中点处。