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解：​$(1)$​因为​$∠AOC = 60°，$​​$∠AOB = 180°，$​
所以​$∠BOC=∠AOB-∠AOC = 180°-60°=120°。$​
​$ $​又因为​$OM$​平分​$∠BOC，$​
所以​$∠COM=\frac {1}{2}∠BOC = 60°。$​
​$ $​所以​$∠CON=∠COM+∠MON = 60°+90°=150°。$​
​$ (2)$​如图​$①，$​延长​$NO$​至点​$D。$​
因为​$∠AOC = 60°，$​直线​$ON$​平分​$∠AOC，$​所以​$∠AOD=∠COD = 30°。$​
​$ $​所以​$∠BOM=∠MON-∠BON=∠MON-∠AOD = 90°-30°=60°。$​
​$ $​所以易得按顺时针方向旋转​$300°$​时，​$NO$​的延长线平分​$∠AOC。$​
根据题意，得​$10t = 300，$​解得​$t = 30。$​
如图②，因为直线​$ON$​平分​$∠AOC，$​所以​$∠NOA = 30°。$​
所以​$∠AOM=∠MON-∠NOA = 90°-30°=60°。$​
​$ $​所以易得按顺时针方向旋转​$120°$​时，直线​$ON$​平分​$∠AOC。$
​根据题意，得​$10t = 120，$​解得​$t = 12。$​
综上所述，​$t $​的值为​$30$​或​$12。$​
​$ (3)∠AOM-∠NOC = 30°。$​
理由：因为​$∠MON = 90°，$​​$∠AOC = 60°，$​
所以​$∠AOM = 90°-∠AON，$​​$∠NOC = 60°-∠AON。$​
​$ $​所以​$∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°。$
​
解：​$(1)$​当​$OB$​恰好平分​$∠NOE$​时，
​$∠NOB=\frac {1}{2}∠NOE=\frac {1}{2}(180°-∠MOE)=\frac {1}{2}×(180°-30°)=75°。$​
根据题意，得​$90 - 3t = 75，$​
​$ $​移项可得​$-3t = 75 - 90，$​
​$ $​即​$-3t=-15，$​
​$ $​解得​$t = 5。$​
​$ $​此时​$OA$​平分​$∠MOE。$​
理由：因为此时​$∠MOA = 3°×5 = 15°，$​
​$∠EOA=∠MOE-∠MOA = 30°-15°=15°，$​
所以​$∠MOA=∠EOA。$​所以​$OA$​平分​$∠MOE。$​
​$ (2)① $​因为​$360\div3°=120(\text{s})，$​​$360\div9°=40(\text{s})，$​
所以直线​$EF $​首先完成旋转一周，
此时三角尺旋转的角度为​$3°×40 = 120°。$​
​$ $​情况​$1$​：当射线​$OE$​平分​$∠AOB$​时，​$9t + 30 - 3t = 90×\frac {1}{2}，$​
​$ $​移项可得​$9t-3t = 45 - 30，$​
​$ $​合并同类项得​$6t = 15，$​
​$ $​解得​$t = 2.5。$​
​$ $​情况​$2$​：当射线​$OF $​平分​$∠AOB$​时，
​$9t + 30 - 3t = 90×\frac {1}{2}+180，$​
​$ $​移项可得​$9t-3t = 45 + 180 - 30，$​
​$ $​合并同类项得​$6t = 195，$​
​$ $​解得​$t = 32.5。$​
​$ $​所以当​$t $​的值为​$2.5$​或​$32.5$​时，​$EF $​平分​$∠AOB。$​
② 能。​$t $​的值为​$14$​或​$38。$​
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