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第34页

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解：$ (1)$∵$OM⊥AB，$$ON⊥CD，$

$∠AMN= ∠CNM$

∴$∠OMN= ∠ONM，$∴$OM=ON$

$(2)$连接$OB、$$OD$

∵$OM⊥AB，$$ON⊥CD$

∴$∠OMB=∠OND=90°$

在$Rt∆BOM$和$Rt∆DON$中

$\begin {cases}{OM=ON }\\{OB=OD } \end {cases}$

∴$Rt∆BOM≌Rt∆DON(\mathrm {HL})$

∴$BM= DN$

∴$AB=CD$

解：过$C$作$CE⊥AB$于$E$

∵$CE⊥AB，$∴$AD=2\ \mathrm {A}E$

∵$∠C=90°，$$AC=9，$$BC=12$

∴$AB= \sqrt {AC^2+BC^2}=15$

∵$S_{△ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}C· BC = \frac 12\ \mathrm {A}B· CE$

∴$CE= \frac {AC×BC}{AB}= \frac {9×12}{15}= \frac {36}5$

在$Rt∆AEC$中，$AE= \sqrt {AC^2-CE^2}= \frac {27}5 $

∴$AD= 2\ \mathrm {A}E= \frac {54}5$

√