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解：连接​$OE、$​​$OF$​
∵​$⊙O$​是​$∆ABC$​的内切圆，切点为​$D、$​​$E、$​​$F$​
∴​$OE⊥AC，$​​$OF⊥AB，$​
​$CO$​平分​$∠ACB，$​​$BO$​平分​$∠ABC$​
∴​$∠AFO=∠AEO=90°$​
∵​$∠A+∠AEO+∠AFO+∠EOF=360°$​
∴​$∠EOF=140°$​
∴​$ ∠EDF=\frac 12∠EOF=70°$​
∵​$CO$​平分​$∠ACB，$​​$BO$​平分​$∠ABC$​
∴​$ ∠OCB=\frac 12∠ACB，$​​$∠OBC=\frac 12∠ABC$​
∴​$ ∠OCB+∠OBC=\frac 12(∠ACB+∠ABC)$​
​$=\frac 12(180°-∠A)=70°$​
∴​$∠BOC=180°-(∠OCB+∠OBC)=110°$​
解：连接​$AO$​并延长与​$BC$​相交于点​$H$​
∵点​$O$​为​$∆ABC$​的内切圆
∴​$AO$​平分​$∠BAC$​
∵​$AB=AC，$​∴​$AH⊥BC$​
∵点​$D$​为​$BC$​与圆的切点，∴​$OD⊥BC$​
∵​$OH⊥BC，$​∴点​$D、$​点​$H$​重合
∴点​$O$​在线段​$AD$​上
连接​$OB、$​​$OC，$​设圆的半径为​$r$​
∵​$AB=AC=13，$​​$ BD=\frac 12BC=5$​
∴​$ AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=12$​
​$S_{∆ABC}=S_{∆AOB}+S_{∆BOC}+S_{∆AOC}$​
​$=\frac 12×AB×r+\frac 12×BC×r+\frac 12×AC×r$​
​$=\frac 12×(AB+BC+AC)r$​
∵​$ S_{∆ABC}=\frac 12×BC×AD=\frac 12×10×12=60$​
∴​$ \frac 12×(13+10+13)×r=60$​
∴​$r=\frac {10}3$​
$2$
$1$
​$\sqrt {5}$​
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