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解：设竹竿的长度为​$x$​尺
​$ $​则门框的宽为​$(x-4)$​尺，高为​$(x-2)$​尺
​$ $​由题意得​$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$​
​$ $​解得​$x_{1}=10，$​​$x_{2}=2($​不合题意，舍去)
答：门宽​$6$​尺​$，$​高​$8$​尺​$，$​对角线的长度为​$10$​尺。
解：设​$AD$​长为​$x$​米，则​$AB$​的长为​$1.5x$​米
​$ $​由题意得​$1.5x^2-1.5x=5310$​
​$ $​解得​$x_{1}=60，$​​$x_{2}=-59($​不合题意，舍去)
∴​$ AD=60\ \mathrm {m}，$​​$AB=1.5AD=90\ \mathrm {m}$​
解：​$(1) $​由题意得​$πx^2=\frac 12×16×12$​
​$ x^2≈30.57$​
∴​$x_{1}≈5.5，$​​$x_{2}≈-5.5($​不合题意，舍去)
∴图中的​$x$​为​$5.5$​
​$ (2)$​如图所示
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