第34页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解: E到A的距离大于E到C的距离
理由是： $∵ \triangle B C D$ 是等腰直角三角形， $E$ 为BD的中点，
$\therefore C E=\frac{1}{2} B D=B E$
$\because$ 在Rt $\triangle \mathrm{ABE}, \angle \mathrm{ABE}=90^{\circ}$
$\therefore \mathrm{AE}\gt \mathrm{BE}$
$\therefore \mathrm{AE}\gt \mathrm{CE}$
即E到 $A$ 的距离大于E到C的距离.

 证明：取AB的中点D，连接CD。

 ∵∠ACB=90°，D是AB的中点，

 ∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。

 ∵AC=$\frac{1}{2}$AB，

 ∴AC=AD=CD。

 ∴△ACD是等边三角形。

 ∴∠A=60°。

 ∵∠ACB=90°，

 ∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。

解：​$∠EBD$​与​$∠EDB$​相等，理由 ∶
∵​$∠A B C=90°$​，且点​$E$​是​$ A C$​的中点
∴​$E B=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C $​
同理：​$ E D=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C$​
∴​$E B=E D$​
∴​$∠EBD=∠EDB$​

【解析】：本题可根据直角三角形斜边中线的性质得出线段相等关系，再根据等腰三角形的性质来证明$\angle EBD = \angle EDB$。
首先，在$Rt\triangle ABC$中，因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），可得$BE=\frac{1}{2}AC$。
同理，在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AC$。
由上述两个结论可知$BE = DE$，根据等腰三角形的性质（等腰三角形两底角相等），在$\triangle EBD$中，$BE = DE$，所以$\angle EBD = \angle EDB$。
【答案】：证明：
∵$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵$\angle ADC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴$BE = DE$。
∴$\angle EBD = \angle EDB$（等边对等角）。