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$解：​(1) (n-m)^2=1​$
$​\mathrm {m^2}+n^2=61​$
$∴​2\ \mathrm {m} n=60​$
$∴​(m+n)^2=\mathrm {m^2}+n^2+2mn=121​$
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解：过点$A$作$AE \perp BC$于点$E，$
$\because AB = AC = 13，$$BC = 10，$
$\therefore BE = EC = 5$（等腰三角形三线合一），
在$\text{Rt}\triangle AEC$中，$AE^2 + EC^2 = AC^2，$
即$AE^2 + 5^2 = 13^2，$
解得$AE = 12，$
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AE = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60，$
又$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CD，$
$\therefore \frac{1}{2} \times 13 \times CD = 60，$
解得$CD = \frac{120}{13}。$

证明：
设两个直角三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'，$其中$\angle B，$$\angle B'$为直角，且斜边$AB = A'B'，$一条直角边$AC = A'C'。$
∵在直角三角形中，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，
∴在$\triangle ABC$中，$BC^2 = AB^2 - AC^2；$
在$\triangle A'B'C'$中，$B'C'^2 = A'B'^2 - A'C'^2。$
∵$AB = A'B'$且$AC = A'C'，$
∴$BC^2 = B'C'^2，$
两边开平方得$BC = B'C'。$
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，
$\begin{cases} AB = A'B' \\ AC = A'C' \\ BC = B'C' \end{cases}$
∴根据三边对应相等的判定定理（SSS），$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'。$
【解析】：
本题主要考查勾股定理和直角三角形全等的判定。
首先，我们设定两个直角三角形，它们的斜边和一条直角边分别相等。
设两个直角三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，其中$\angle B$和$\angle B'$为直角，$AB = A'B'$为斜边，$AC = A'C'$为一条直角边。
根据勾股定理，对于直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，在$\triangle ABC$中，有$BC^2 = AB^2 - AC^2$；
在$\triangle A'B'C'$中，有$B'C'^2 = A'B'^2 - A'C'^2$。
由于$AB = A'B'$且$AC = A'C'$，代入上述公式可得$BC^2 = B'C'^2$，进一步开方得到$BC = B'C'$。
至此，我们证明了两个直角三角形的三边分别相等，即$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$BC = B'C'$。
根据三边全等的判定定理(SSS)，我们可以得出$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。
【答案】：
证明：
设两个直角三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，其中$\angle B$，$\angle B'$为直角，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$。
∵根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，
∴$BC^2 = AB^2 - AC^2$，$B'C'^2 = A'B'^2 - A'C'^2$，
∵$AB = A'B'$且$AC = A'C'$，
∴$BC^2 = B'C'^2$，
进一步开方，得$BC = B'C'$，
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，
∵$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$BC = B'C'$，
∴根据三边全等的判定定理(SSS)，$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。
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