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$5$或$\sqrt{7}$
解：​$(1)$​勾股定理：
直角三角形的两条直角边长分别为​$a$​、​$b$​，斜边长为​$c$​
那么​$a^2+b^2=c^2$​
​$(2)$​图​$1$​的面积为：​$S_{1}=\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2$​
图​$2$​的面积为​$S_{2}=\frac {1}{2}ab×3+c^2$​
∵图​$1$​、图​$2$​的面积相等
∴​$\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2=\frac {1}{2}ab×3+c^2$​
∴​$a^2+b^2=c^2$​
【解析】：
1.本题主要考查勾股定理的应用。在直角三角形中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）来分别计算各小题。
（1）已知$a = 3$，$b = 4$，将其代入勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
（2）已知$c = 13$，$b = 5$，由勾股定理$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
（3）已知$c = 17$，$a = 15$，同理$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8$。
（4）已知$a + b = 14$，$ab = 48$，先求$a^{2}+b^{2}$，根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，把$a + b = 14$，$ab = 48$代入可得$a^{2}+b^{2}=14^{2}-2×48=196 - 96 = 100$，所以$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{100}=10$。
【答案】：
1.（1）$5$；（2）$12$；（3）$8$；（4）$10$。
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