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解：以EA为x轴，GC为y轴建立
平面直角坐标系，如图
设每一方格为 1 个单位长度
A(6，0)，B(2，2)，
C(0，6)，D(-2，2)，
E(-6，0)，F(-2，-2)，
G(0，-6)，H(2，-2).
解 ​$ A(-3，3)，B(-3，0)，C(3，0)，D(3，3) $​。
解
方法一：以对角线的交点为坐标原点，分别以平行于 ​$DC$​、​$BC$
​ 的直线为 ​$x$​ 轴、​$y$​ 轴，建立平面直角坐标系（图 ​$5 - 10$​）。
点 ​$A$​、​$B$​、​$C$​、​$D$​、​$O$​ 的坐标分别是
 ​$(-1， -1)$​、​$(1， -1)$​、​$(1， 1)$​、​$(-1， 1)$​、​$(0， 0)$​。
方法二：以 ​$AC$​ 所在直线为 ​$x$​ 轴，​$BD$​ 所在直线为 ​$y$​ 轴，
建立平面直角坐标系（图 ​$5 - 11$​）。
由正方形边长为 ​$2$​，得 ​$OA = OB = OC = OD = \sqrt {2}$​，
点 ​$A$​、​$B$​、​$C$​、​$D$​、​$O$​ 的坐标分别是
 ​$(-\sqrt {2}， 0)$​、​$(0， -\sqrt {2})$​、​$(\sqrt {2}， 0)$​、​$(0， \sqrt {2})$​、​$(0， 0)$​。

解：以四角星形的中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
顶点坐标分别为：A(5,0)，B(2,2)，C(0,5)，D(-2,2)，E(-5,0)，F(-2,-2)，G(0,-5)，H(2,-2)。
【解析】：
本题考查平面直角坐标系的建立以及正方形顶点和对角线交点坐标的求解，关键在于合理建立不同的平面直角坐标系，再根据正方形的性质和坐标的定义来确定各点坐标。
【答案】：
解：(1)以点$A$为坐标原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为正方形$ABCD$的边长为$2$，
所以$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$。
对角线$AC$与$BD$的交点坐标，即正方形中心坐标为$(\frac{0 + 2}{2},\frac{0 + 2}{2})=(1,1)$。
(2)以正方形$ABCD$的中心$O$为坐标原点，平行于$AB$的直线为$x$轴，平行于$AD$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
此时$A(-1,-1)$，$B(1,-1)$，$C(1,1)$，$D(-1,1)$，对角线交点$O(0,0)$。
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