零五网 › 全部参考答案› 学习与评价答案 › 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册） › 第128页

第128页

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证明：​$(1)$​∵​$BE⊥AC$​，
∴​$∠BEC=∠BEA=90°.$​
∵​$BE$​平分​$∠ABC$​，
∴​$∠EBC=∠EBA.$​
在​$△CBE$​和​$△ABE$​中，
​$\begin {cases}{∠EBC=∠EBA}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEA}\end {cases}$​
∴​$△CBE≌△ABE(\mathrm {ASA})$​，
∴​$AE=CE.$​
​$(2)$​∵​$BE⊥AC$​，​$CD⊥AB$​，
∴​$∠CDA=∠BDF=∠BEA=90°$​，
∴​$∠EBA+∠A=90°$​，​$∠ACD+∠A=90°$​，
∴​$∠EBA=∠ACD.$​
在​$△BDF $​和​$△CDA$​中，
​$\begin {cases}{∠EBA=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA}\end {cases}$​
∴​$△BDF≌△CDA(\mathrm {ASA})$​，
∴​$BF=AC.$​
∵​$AE=CE$​，
∴​$AC=2CE$​，
∴​$BF=2CE.$​

 证明：延长$AD$至点$E，$使$DE = AD，$连接$BE。$

 $\because AD$是$\triangle ABC$的中线，

 $\therefore BD = CD。$

 在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，

 $\begin{cases} BD = CD \\ \angle BDE = \angle CDA \\ DE = DA \end{cases}$

 $\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDA(SAS)。$

 $\therefore BE = AC。$

 在$\triangle ABE$中，$AB + BE ＞ AE。$

 $\because AE = AD + DE = 2AD，$$BE = AC，$

 $\therefore AB + AC ＞ 2AD。$

$解：正确，理由如下：$
$ 在Rt△ADB与Rt△ADC中，$
$由勾股定理可得：AB^2-BD^2=AD^2，AC^2-CD^2=AD^2，$
$ ∴AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，$
$即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD).$
$∵AB+BD=AC+CD，$
$∴AB-BD=AC-CD，$
$两式相加，得AB=AC，$
$∴△ABC为等腰三角形.$