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解：​$(1)\ \mathrm {BH}=AC$​
∵​$C D⊥A B$​，​$ B E⊥A C$​
∴​$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$​
∵​$∠ABC=45°$​
∴​$∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC$​
∴​$DB=DC$​
∵​$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$​
∴​$∠A+∠ACD=90°$​，​$∠A+∠HBD=90°$​
∴​$∠HBD=∠ A C D$​，
在​$△DBH $​和​$ △DCA $​中
​$\begin {cases}{∠B D H=∠C D A}\\{ B D=C D}\\{ ∠H B D=∠A C D}\end {cases}$​
∴​$△DBH ≌△DCA(\mathrm {ASA})$​
∴​$BH=AC$​
​$(2)$​证明：连接​$CG$​
由​$ (1)$​知，​$ D B=C D $​
∵​$F $​为​$BC $​的中点
∴​$D F $​垂直平分​$BC$​
∴​$B G=C G$​
∵​$∠ABE=∠CBE$​，​$BE⊥AC$​
∴​$EC=EA$​
在​$Rt△C G E $​中，由勾股定理得：​$C G^2-G E^2=C E^2$​
∵​$ C E=A E$​，​$ B G=C G$​
∴​$B G^2-GE^2=AE^2$​

​$(1)$​证明：∵​$△ABC$​是等边三角形，
∴​$AB = BC，$​​$∠ABC = ∠C = 60°，$​
∵在​$△ABD$​和​$△BCE$​中，
​$\{\begin {array}{l}\ \mathrm {A}B = BC\\∠ABC = ∠C\\BD = CE\end {array}.$​
∴​$△ABD≌△BCE(\mathrm {SAS})，$​
∴​$∠BAD = ∠CBE，$​​$AD = BE，$​
∵​$∠AFE = ∠BAD + ∠ABF，$​
∴​$∠AFE = ∠CBE + ∠ABF = ∠ABC = 60°$​
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(1)证明AB + BD ＞ AC + CD
在BE上截取EF = CE，连接AF，DF。
因为AE ⊥ BC，EF = CE，所以AE垂直平分CF，
根据垂直平分线的性质，可得AC = AF，CD = DF
∵AE⊥BC
∴∠AFB=∠AEF+∠EAF＞90°
同理，∠BFD＞90°
在△ABF_{中}，∠AFB对应的边AB是最长的
∴AB＞AF，同理，BD＞DF
∴AB+BD＞AF+DF
即AB+BD＞AC+CD
(2)证明AB + CD ＜ AC + BD
在BE上截取EG = CE，连接AG，DG。
因为AE ⊥ BC，EG = CE，所以AE垂直平分CG，
根据垂直平分线的性质，可得AC = AG，CD = DG。
在\triangle ABG_{中}，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得AB + AG ＞ BG + DG。
因为BG = BE - EG = BE - CE，且BE ＞ CE，所以BG ＞ 0。
又因为AC = AG，CD = DG，
所以AB + AC ＞ BD + CD，
即AB + CD ＜ AC + BD。
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