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解：​$(1)$​正方形、矩形(答案不唯一)
​$(2)①$​∵将​$△ABC$​绕顶点​$B$​按顺时针方向旋转​$60°$​得到​$△DBE$​
∴​$BC=BE$​，​$∠CBE=60°$​
∴​$△BCE$​是等边三角形
②∵​$△BCE$​为等边三角形
∴​$BC=CE$​，​$∠BCE=60°$​
∵​$∠DCB=30°$​
∴​$∠DCE=90°$​
在​$Rt△DCE$​中：​$DC^2+CE^2=DE^2$​
根据旋转的性质易知：​$DE=AC$​
∴​$DC^2+BC^2=AC^2$​，即四边形​$ABCD$​是勾股四边形
证明：
∵​$AD$​和​$A'D'$​分别是​$△ABC$​和​$△A'B'C'$​的中线，​$BC=B'C'，$​
∴​$BD=B'D'，$​​$DC=D'C'。$​
​$ $​在​$△ABD$​和​$△A'B'D'$​中，
​$ AB=A'B'，$​​$AD=A'D'，$​​$BD=B'D'，$​
∴​$△ABD≌△A'B'D'(\mathrm {SSS})，$​
∴​$∠B=∠B'。$​
​$ $​在​$△ABC$​和​$△A'B'C'$​中，
​$ AB=A'B'，$​​$∠B=∠B'，$​​$BC=B'C'，$​
∴​$△ABC≌△A'B'C'(\mathrm {SAS})。$​
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