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解：连接OC，OD，CD。
∵ C、D是半圆的三等分点，
∴ ∠BOC=∠COD=60°。
∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠DCO=∠BOC=60°，
∴ CD//AB，
∴ S△COD=S△CBD，
∴ 阴影部分的面积=S扇形COD。
∵ 半圆的直径AB=4，
∴ 半径OC=2，
∴ $ S_{扇形COD}=\frac{60\pi\times2^2}{360}=\frac{2}{3}\pi ，$
即阴影部分的面积为$\frac{2}{3}\pi。$
解：连接 $ BP ，$$ CP ，$
因为分别以点 $ B $、$ C $ 为圆心，正方形边长为半径画圆，正方形边长为 2，
所以 $ BP = CP = BC = 2 ，$则 $ \triangle BCP $ 是等边三角形，
因此 $ \angle BPC = 60^\circ 。$
由于四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ \angle ABC = 90^\circ ，$
所以 $ \angle ABP = \angle ABC - \angle PBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ 。$
阴影部分面积由两个对称的部分组成，每部分面积为扇形 $ ABP $ 的面积减去（扇形 $ BCP $ 的面积减去 $ \triangle BCP $ 的面积），
即 $ S_{\text{阴影}} = 2 \times [S_{\text{扇形}ABP} - (S_{\text{扇形}BCP} - S_{\triangle BCP})] 。$
计算各部分面积：
扇形 $ ABP $ 的面积：$ \frac{30^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{1}{12} \times \pi \times 4 = \frac{1}{3}\pi ；$
扇形 $ BCP $ 的面积：$ \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 4 = \frac{2}{3}\pi ；$
$ \triangle BCP $ 的面积：$ \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} $（等边三角形面积公式：$ \frac{\sqrt{3}}{4} \times 边长^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} $）。
代入阴影面积公式：
$ S_{\text{阴影}} = 2 \times \left[ \frac{1}{3}\pi - \left( \frac{2}{3}\pi - \sqrt{3} \right) \right] = 2 \times \left( \frac{1}{3}\pi - \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} \right) = 2 \times \left( -\frac{1}{3}\pi + \sqrt{3} \right) = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi 。$
答：图中阴影部分的面积为 $ 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi 。$
$\left(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\pi$
$\frac{25}{12}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(50 + 2\pi)\text{m}$
【答案】：
​​ 解：连接OC，OD，CD​
​∵ C、D是半圆的三等分点​
​∴ ∠BOC=∠COD=60°∵ OC=OD​
​∴ △OCD是等边三角形​
​∴ ∠DCO=∠BOC=60°​
​∴ CD//AB∴ S△COD=S△CBD​
​∴$ {S}_{阴影部分}={S}_{扇形COD}={\frac {60π×{(4÷2)}^{2}} {360}}​$
$​={\frac {2} {3}}π​$

【解析】：
连接OC、OD。
∵AB=4，
∴半径OB=2。
∵C、D是半圆三等分点，
∴∠COD=∠BOC=∠AOD=60°。
∵OC=OD=OB，
∴△OCD、△OBC是等边三角形，∠OBC=60°。
S阴影=S扇形OCD。
S扇形OCD=$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2}{3}\pi$。
$\frac{2}{3}\pi$
【答案】：

$​$解：连接$BP，$$CP，$则$BP=CP=BC=2​$　　
$​$则$△BCP$是等边三角形$​$　　
$​$　　
∴$∠BPC=60°，$　　
∴$∠ABP=90°－60°=30°​$　　
$​S_{阴影}=2×[S_{扇形ABP}－(S_{扇形BCP}－S_{BCP})]​$　　
$​=2×[\frac {30°}{360°}×π×2²－(\frac {60°}{360°}×π×2²－\frac {1}{2}×2×\sqrt{3})]​$　　
$​=2×[\frac {1}{3}π－\frac {2}{3}π+\sqrt{3}]​$　　
$​=2\sqrt{3}－\frac {2π}{3}​$　　

【解析】：
连接BP、CP、AP、DP，BP=CP=BC=2，△BPC为等边三角形，∠PBC=∠PCB=60°，∠ABP=∠DCP=30°。
S扇形ABP=S扇形DCP=$\frac{30°}{360°}×\pi×2^2=\frac{\pi}{3}$，
S△ABP=S△DCP=$\frac{1}{2}×2×2×\sin30°=1$，
阴影部分面积=2×(S扇形ABP-S△ABP)+(S正方形ABCD-S扇形BAPD-S扇形CDPA+S重叠部分)，
S扇形BAPD=S扇形CDPA=$\frac{90°}{360°}×\pi×2^2=\pi$，
S重叠部分=2×($\frac{60°}{360°}×\pi×2^2-\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2$)=$\frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3}$，
S正方形ABCD=4，
阴影部分面积=2×($\frac{\pi}{3}-1$)+(4-π-π+$\frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3}$)=2×$\frac{\pi}{3}-2+4-2\pi+\frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$。
$2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$
1. （1）
首先求点$A$经过的路线长：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB = 2$，则$BC=\frac{1}{2}AB = 1$，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3}$。
点$A$运动的第一段弧：以$B$为圆心，$AB$长为半径，圆心角$\angle ABA'=180 - 60=120^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），弧长$l_{1}=\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
点$A$运动的第二段弧：以$C''$为圆心，$A''C'' = AC=\sqrt{3}$为半径，圆心角$\angle A'C''A'' = 90^{\circ}$，弧长$l_{2}=\frac{90\pi×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。
点$A$经过的路线长$l=l_{1}+l_{2}=(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})\pi$。
然后求点$A$经过的路线与直线$l$所围成的面积：
第一部分面积：扇形$ABA'$的面积$S_{扇ABA'}=\frac{120\pi×2^{2}}{360}=\frac{4\pi}{3}$。
第二部分面积：$\triangle A'BC''$的面积$S_{\triangle A'BC''}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
第三部分面积：扇形$A'C''A''$的面积$S_{扇A'C''A''}=\frac{90\pi×(\sqrt{3})^{2}}{360}=\frac{3\pi}{4}$。
所围成的面积$S = S_{扇ABA'}+S_{\triangle A'BC''}+S_{扇A'C''A''}=\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\pi}{4}=\frac{16\pi + 9\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. （2）
半圆形工件无滑动翻转时，圆心$O$经过的路线是两段弧：
每段弧对应的圆心角是$90^{\circ}$，半径$r = 2m$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，一段弧长$l_{弧}=\frac{90\pi×2}{180}=\pi$，两段弧长$l_{1}=2\pi$。
平移时，圆心$O$经过的路线长$l_{2}=50m$。
圆心$O$所经过的路线长$L = 2\pi+50$。
故答案依次为：$\frac{8 + 3\sqrt{3}}{6}\pi$；$\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$；$(2\pi + 50)m$。
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