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3或-1
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解：原方程为 $-2x^{2}+4x+1=0，$移项得 $-2x^{2}+4x=-1，$两边同时除以$-2$得 $x^{2}-2x=\frac{1}{2}，$配方得 $x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1，$即 $(x-1)^{2}=\frac{3}{2}，$开方得 $x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}，$解得 $x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2}，$$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}。$
解：原方程为 $3x^{2}-5x=2，$移项得 $3x^{2}-5x-2=0，$两边同时除以$3$得 $x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}，$配方得 $x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}，$即 $(x-\frac{5}{6})^{2}=\frac{49}{36}，$开方得 $x-\frac{5}{6}=\pm\frac{7}{6}，$解得 $x_{1}=2，$$x_{2}=-\frac{1}{3}。$
解：原方程为 $9y^{2}-16y-4=0，$移项得 $9y^{2}-16y=4，$两边同时除以$9$得 $y^{2}-\frac{16}{9}y=\frac{4}{9}，$配方得 $y^{2}-\frac{16}{9}y+\frac{64}{81}=\frac{4}{9}+\frac{64}{81}，$即 $(y-\frac{8}{9})^{2}=\frac{100}{81}，$开方得 $y-\frac{8}{9}=\pm\frac{10}{9}，$解得 $y_{1}=2，$$y_{2}=-\frac{2}{9}。$
解：原方程为 $\frac{1}{2}t^{2}+3t=1，$移项得 $\frac{1}{2}t^{2}+3t-1=0，$两边同时乘以$2$得 $t^{2}+6t=2，$配方得 $t^{2}+6t+9=2+9，$即 $(t+3)^{2}=11，$开方得 $t+3=\pm\sqrt{11}，$解得 $t_{1}=-3+\sqrt{11}，$$t_{2}=-3-\sqrt{11}。$
解：$x(2x + 3) = 4x + 6$
移项得$x(2x + 3) - 4x - 6 = 0$
变形得$x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
因式分解得$(2x + 3)(x - 2) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -\frac{3}{2}，$$x_2 = 2$
解：$x^2 + 2mx = n$
配方得$x^2 + 2mx + m^2 = n + m^2$
即$(x + m)^2 = n + m^2$
因为$n + m^2 \geq 0$
开方得$x + m = \pm\sqrt{n + m^2}$
解得$x_1 = -m + \sqrt{n + m^2}，$$x_2 = -m - \sqrt{n + m^2}$
（1）证明：$2x^{2}+4x+3=2(x^{2}+2x)+3=2(x^{2}+2x+1-1)+3=2(x+1)^{2}-2+3=2(x+1)^{2}+1，$
$\because (x+1)^{2}\geq0，$
$\therefore 2(x+1)^{2}\geq0，$
$\therefore 2(x+1)^{2}+1\geq1＞0，$
即对于任意实数$x，$$2x^{2}+4x+3＞0$恒成立.
（2）证明：$(3x^{2}-5x-1)-(2x^{2}-4x-7)=3x^{2}-5x-1-2x^{2}+4x+7=x^{2}-x+6，$
$x^{2}-x+6=x^{2}-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}，$
$\because (x-\frac{1}{2})^{2}\geq0，$
$\therefore (x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}\geq\frac{23}{4}＞0，$
即$(3x^{2}-5x-1)-(2x^{2}-4x-7)＞0，$
$\therefore$对于任意实数$x，$代数式$3x^{2}-5x-1$的值总大于代数式$2x^{2}-4x-7$的值.
证明：
原式$=m^{2}-6mn + 9n^{2}+n^{2}-8n + 16 + 4$
$=(m - 3n)^{2}+(n - 4)^{2}+4，$
因为$(m - 3n)^{2}\geq0，$$(n - 4)^{2}\geq0，$
所以$(m - 3n)^{2}+(n - 4)^{2}+4\geq4，$
即对于任意实数$m$、$n，$代数式$m^{2}+10n^{2}-6mn-8n + 20$的值不小于$4。$
解：$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2= 0$
两边同除以2：$x^{2}-\frac{2}{3}x-1=0$
移项：$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$
配方：$x^{2}-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=1+(\frac{1}{3})^{2}$
即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{10}{9}$
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