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1
D
C
解：对于方程$x^2 - 2x - 3 = 0，$$x_1 + x_2 = 2，$$x_1 \cdot x_2 = -3$
解：方程$3x^2 = x(x + 1)$可化为$2x^2 - x = 0，$$x_1 + x_2 = \frac{1}{2}，$$x_1 \cdot x_2 = 0$
解：设方程$x^2 + mx - 1 = 0$的两根分别为$a，$$b，$根据韦达定理可得：
$a + b = -m，$$ab = -1。$
因为方程$x^2 + mx - 1 = 0$的两根是方程$x^2 + x + n = 0$两根的相反数，所以方程$x^2 + x + n = 0$的两根为$-a，$$-b。$
对于方程$x^2 + x + n = 0，$由韦达定理可知：
$-a + (-b) = -1，$$(-a) \cdot (-b) = n。$
化简得：
$a + b = 1，$$ab = n。$
结合前面的结果$a + b = -m$和$ab = -1，$可得：
$-m = 1，$即$m = -1；$
$n = ab = -1。$
综上，$m = -1，$$n = -1。$
(1)解：因为方程$x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}=0$有两个实数根，所以判别式$\Delta=(2m - 1)^{2}-4\times1\times m^{2}\geq0。$
展开可得：$4m^{2}-4m + 1-4m^{2}\geq0，$
化简得：$-4m + 1\geq0，$
移项得：$-4m\geq - 1，$
两边同时除以$-4$（不等号变向）：$m\leq\frac{1}{4}。$
(2)解：当$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$时，即$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0，$所以$x_{1}+x_{2}=0$或$x_{1}-x_{2}=0。$
当$x_{1}+x_{2}=0$时，根据一元二次方程根与系数的关系，$x_{1}+x_{2}=-(2m - 1)，$所以$-(2m - 1)=0，$解得$m=\frac{1}{2}。$又因为由
(1)知$m\leq\frac{1}{4}，$所以$m = \frac{1}{2}$不成立，故此时$m$无解。
当$x_{1}-x_{2}=0$时，$x_{1}=x_{2}，$方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=(2m - 1)^{2}-4\times1\times m^{2}=0，$即$-4m + 1=0，$解得$m=\frac{1}{4}。$
综上所述，当$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$时，$m=\frac{1}{4}。$
解：因为$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}+6x + 3=0$的两个实数根，所以$x_{1}+x_{2}=-6，$$x_{1}\cdot x_{2}=3。$
原式$=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=3+(-6)+1=-2$
解：因为$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}+6x + 3=0$的两个实数根，所以$x_{1}+x_{2}=-6，$$x_{1}\cdot x_{2}=3。$
原式$=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=\frac{(-6)^{2}-2\times3}{3}=\frac{36 - 6}{3}=\frac{30}{3}=10$
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