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第42页

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 $\triangle ABC$是等边三角形，理由如下：

 $\because$ 点$A，$$B，$$C，$$P$在$\odot O$上，

 $\therefore \angle BAC$与$\angle CPB$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$\angle ABC$与$\angle APC$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，

 $\therefore \angle BAC=\angle CPB，$$\angle ABC=\angle APC，$

 $\because \angle APC=\angle CPB=60^{\circ}，$

 $\therefore \angle BAC=\angle ABC=60^{\circ}，$

 $\because$ 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}，$

 $\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$

 $\therefore \angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，$

 $\therefore \triangle ABC$是等边三角形。

 $\angle BAC ＜ \angle BDC，$理由如下：

 延长$BD，$交$\odot O$于点$E，$连接$CE。$

 因为点$A$、$E$在$\odot O$上，所以$\angle BAC$和$\angle BEC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle BAC = \angle BEC。$

 在$\triangle DEC$中，$\angle BDC$是外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角之和，即$\angle BDC = \angle BEC + \angle DCE。$

 因为$\angle DCE ＞ 0^\circ，$所以$\angle BEC = \angle BDC - \angle DCE ＜ \angle BDC。$

 又因为$\angle BAC = \angle BEC，$所以$\angle BAC ＜ \angle BDC。$

 解：过点$O$作$EF \perp AB，$垂足为$E，$交$CD$于点$F，$直线$EF$与圆$O$相交于点$G，$$H。$

 ∵$EF \perp AB，$

 ∴$AE = BE，$$\widehat{AG} = \widehat{BG}。$

 同理可得$\widehat{CH} = \widehat{DH}。$

 ∵$\widehat{GH} = \widehat{GH}，$

 ∴$\widehat{GH} - \widehat{AG} - \widehat{CH} = \widehat{GH} - \widehat{BG} - \widehat{DH}，$

 ∴$\widehat{AC} = \widehat{BD}。$

 证明：因为 $OD \perp AB，$所以 $\angle AOD = \angle BOD = 90^\circ。$

 因为 $\angle ACD$ 是 $\overset{\frown}{AD}$ 所对的圆周角，$\angle AOD$ 是 $\overset{\frown}{AD}$ 所对的圆心角，所以 $\angle ACD = \frac{1}{2}\angle AOD。$

 同理，$\angle BCD = \frac{1}{2}\angle BOD。$

 因此，$\angle ACD = \angle BCD，$即 $CD$ 平分 $\angle ACB。$