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$2\sqrt{21}$
65°
(1)证明：因为$OC // AB，$所以$\angle OCA = \angle CAB。$
因为$OA = OC，$所以$\angle OAC = \angle OCA。$
因此$\angle OAC = \angle CAB，$即$AC$平分$\angle DAB。$
所以$\widehat{DC} = \widehat{BC}，$故$DC = BC。$
(2)解：由
(1)知$DC = BC。$设$BC = x，$因为$AD:BC = 3:1，$所以$AD = 3x。$
因为$AD$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACD = 90^\circ。$
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 12，$$DC = BC = x，$$AD = 3x，$由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 + DC^2$
即$(3x)^2 = 12^2 + x^2，$化简得$9x^2 = 144 + x^2，$$8x^2 = 144，$$x^2 = 18，$$x = 3\sqrt{2}$（负值舍去）。
所以$AD = 3x = 9\sqrt{2}，$则$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AD = \frac{9\sqrt{2}}{2}。$
解：连接AD
∵∠DOA=90°
∴AD为直径，即点C在线段AD上
由圆周角定理，得：∠ODA=∠OBA=45°
∴△AOD是等腰直角三角形
在Rt△AOD中
∵D(0,2)
∴OD=2
∴OA=OD=2
即点A坐标为(2,0)
∴AD=$\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵点C为AD的中点
∴圆心C的坐标为$\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1)$
综上所述，A(2,0)，C(1,1)
解：连接AO并延长交BC于E，连接OC。
因为AB=AC，OB=OC，所以直线AO垂直平分BC，即AE⊥BC，BE=EC。
设OE=x，由于⊙O的半径为$\sqrt{5}，$则OA=OB=OC=$\sqrt{5}，$故AE=OA+OE=$x+\sqrt{5}。$
在Rt△OBE中，由勾股定理得：
$BE^2=OB^2-OE^2=(\sqrt{5})^2-x^2=5-x^2$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2-AE^2=4^2-(x+\sqrt{5})^2=16-(x^2+2\sqrt{5}x+5)=11-x^2-2\sqrt{5}x$
联立两式：$5-x^2=11-x^2-2\sqrt{5}x，$解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}。$
代入$BE^2=5-x^2，$得$BE^2=5-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}，$故$BE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$（负值舍去），因此$BC=2BE=\frac{8\sqrt{5}}{5}。$
因为BD是直径，所以BD=2$\sqrt{5}，$且∠BAD=∠BCD=90°。
在Rt△ABD中，$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2。$
在Rt△BCD中，$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\frac{8\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{20-\frac{64}{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}。$
四边形ABCD的面积为$S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BC\cdot CD$
$=\frac{1}{2}\times4\times2+\frac{1}{2}\times\frac{8\sqrt{5}}{5}\times\frac{6\sqrt{5}}{5}=4+\frac{24}{5}=\frac{44}{5}=8.8。$
答：四边形ABCD的面积为$8.8。$
解：连接$BD。$
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ。$
在$Rt\triangle ACB$中，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\ \text{cm}$
因为$CD$平分$\angle ACB，$所以$\angle 1 = \angle 2，$则$\widehat{AD} = \widehat{BD}，$故$AD = BD。$
在$Rt\triangle ABD$中，$AD^2 + BD^2 = AB^2，$又因为$AD = BD，$所以：
$2AD^2 = AB^2$
$AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 20 = 10\sqrt{2}\ \text{cm}$
因此，$AD$的长为$10\sqrt{2}\ \text{cm}。$
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