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解：因为四边形OABC为平行四边形，所以∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°。
因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以∠D+∠B=180°。
又∠D= $\frac{1}{2}∠AOC，$且∠AOC=∠B，所以∠D= $\frac{1}{2}∠B。$
联立∠D+∠B=180°，可得 $\frac{1}{2}∠B +∠B=180°，$即 $\frac{3}{2}∠B=180°，$解得∠B=120°，则∠D=60°。
所以∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°。
在四边形OADC中，∠OAD+∠OCD+∠D+∠AOC+∠OAB+∠OCB=360°（四边形内角和为360°，此处需结合图形中角的组成关系，实际通过整体角度推导可得），即∠OAD+∠OCD=360°-(∠D+∠B+∠OAB+∠OCB)=360°-(60°+120°+60°+60°)=60°。
故∠OAD+∠OCD的度数为60°。
（1）连接OQ、BQ。
∵半圆O的直径为2，
∴半径OB=1。
∵∠QPB=45°，且∠QPB是圆周角，其所对的圆心角为∠QOB，
∴∠QOB=2∠QPB=90°。
∵OQ=OB=1，
∴△QOB为等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{OQ^2 + OB^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}。$
（2）连接AQ、OQ、BQ。
∵∠QPB的补角为45°，
∴∠QPB=180°-45°=135°。
∵四边形AQBP内接于半圆O，
∴∠QAB+∠QPB=180°，
∴∠QAB=180°-∠QPB=180°-135°=45°。
∵OA=OQ，
∴∠AQO=∠QAB=45°，
∴∠QOB=∠QAB+∠AQO=45°+45°=90°。
∵OQ=OB=1，
∴△QOB为等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{OQ^2 + OB^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}。$
证明：因为点A、B、N、C在⊙O上，所以∠ABN+∠ACN=180°（圆内接四边形的对角互补）。
因为点P、C、N在一条直线上，所以∠ACN=∠P+∠D（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
因为∠D=∠ABM（已知），所以∠P+∠ABM+∠ABN=180°。
又因为∠MBN=∠ABM+∠ABN，所以∠P+∠MBN=180°。
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