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解：连接OD、OE，如图所示：
因为Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AC、BC分别相切于点D、E，
所以OD⊥AC，OE⊥BC，且OD=OE=r。
又因为∠C=90°，
所以四边形CEOD为矩形，且OD=OE，
因此四边形CEOD为正方形，
所以CD=CE=OD=OE=r。
因为MN切⊙O于点P，分别交CD、CE于点M、N，
根据切线长定理，得MP=MD，NP=NE。
所以Rt△CMN的周长=CM+CN+MN
=CM+CN+PM+PN
=CM+MD+CN+NE
=CD+CE
=r+r
=2r。
故Rt△CMN的周长为2r。
解：因为⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，所以AD=AF，BE=BD，CF=CE。设AD=AF=x，BE=BD=y，CF=CE=z。
已知AB=18，BC=14，CA=12，根据三角形边长关系可得：
$\begin{cases}x + y = 18 \\x + z = 12 \\y + z = 14\end{cases}$
将三个方程相加可得：$2(x + y + z)=18 + 12 + 14=44，$则$x + y + z=22。$
所以：
$x=22-(y + z)=22 - 14=8，$即AD=8；
$y=22-(x + z)=22 - 12=10，$即BE=10；
$z=22-(x + y)=22 - 18=4，$即CF=4。
综上，AD的长为8，BE的长为10，CF的长为4。
解：连接OE、OF。
设AD = x，由切线长定理得AF = x。
因为⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，所以OE⊥BC，OF⊥AC。
又因为∠C = 90°，所以四边形OECF为矩形，而OE = OF = r = 2，故四边形OECF为正方形，因此CE = CF = 2。
已知BC = 5，则BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，由切线长定理得BD = BE = 3，所以AB = AD + BD = x + 3。
AC = AF + CF = x + 2，BC = 5。
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC² + BC² = AB²，即(x + 2)² + 5² = (x + 3)²。
展开得x² + 4x + 4 + 25 = x² + 6x + 9，化简得2x = 20，解得x = 10。
所以AC = 10 + 2 = 12，AB = 10 + 3 = 13。
△ABC的周长为AC + BC + AB = 12 + 5 + 13 = 30。
答：△ABC的周长为30。
（1）证明：连接CD、OD，如图所示。
∵AC是直径，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切线。
又
∵DE是⊙O的切线，
∴ED=EC，∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
又
∵∠OAD+∠DBE=90°，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∴EB=EC。
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ODCE是正方形，
∴OC=CE，∠OCE=90°。
∵OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，CE=EB（由（1）知EB=EC），
∴AC=2OC=2CE=CE+EB=BC，
又
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
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