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第56页

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内接正八边形

内接正方形

$2\sqrt{2}$

③

135

$1+\sqrt{2}$

1. 设正八边形补成正方形后，正方形边长为$x$：

正八边形的边长为$1$，由正八边形的性质可知，正八边形的四个角上的小直角三角形是等腰直角三角形。

设等腰直角三角形的直角边为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=1^{2}$（对于等腰直角三角形，斜边为正八边形的边长$1$）。

由$2a^{2}=1$，解得$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$（因为$a\gt0$，舍去负根）。

2. 再看正方形边长$x$与$a$的关系：

正方形边长$x=a + 1+a$。

把$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入上式，$x = 2a+1$。

则$x = 2×\frac{\sqrt{2}}{2}+1$。

计算得$x = 1+\sqrt{2}$。

所以正方形的边长为$1 + \sqrt{2}$。