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$4\sqrt{2}$
解：取AE中点I，则点I为圆的圆心。
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成。
已知△ADE的面积为10，而△ADE由2个与△IDE全等的三角形组成，因此△IDE的面积为 $ \frac{10}{2} = 5 。$
则正八边形ABCDEFGH的面积为 $ 8 \times 5 = 40 。$
答：正八边形ABCDEFGH的面积为40。
解：由题意可知，小明每一次沿$\angle OAB = \alpha$的方向走，则每一次转过的圆心角是$180^\circ - 2\alpha。$运动到点$F，$一共运动了五次，多转了$\frac{1}{2}(180^\circ - 2\alpha)=90^\circ - \alpha，$则$5(180^\circ - 2\alpha)=360^\circ + 90^\circ - \alpha，$解得$\alpha = 50^\circ。$
若构成正九边形，则运动了九次，设沿$\beta$的度数转动，$9(180^\circ - 2\beta)=360^\circ，$解得$\beta = 70^\circ，$$\beta - \alpha=70^\circ - 50^\circ=20^\circ。$
答：他应将最初的角$\alpha$增大$20$度。
解：对图形进行点标注，连接OA，OB，作OC⊥AB于C。
因为直角三角形的斜边长为$a，$一个锐角为$60^\circ，$所以两条直角边长分别为：
较短直角边：$a \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2}a，$
较长直角边：$a \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a。$
则一个直角三角形的面积为$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2，$
两个全等直角三角形（空白部分）的面积为$2 \times \frac{\sqrt{3}}{8}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2。$
因为正六边形边长为$a，$可分割为6个边长为$a$的等边三角形，每个等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a，$面积为$\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2，$
所以正六边形的面积为$6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2。$
阴影部分的面积 = 正六边形面积 - 空白部分面积 = $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{5\sqrt{3}}{4}a^2。$
因此，阴影部分与空白部分的面积比为$\frac{5\sqrt{3}}{4}a^2 : \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 5:1。$
答：图中阴影部分与空白部分的面积比是$5:1。$
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