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（1）解：设圆锥的底面半径为$r，$母线长为$l。$因为圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于圆锥底面周长，所以$\pi l = 2\pi r，$可得$l:r = 2:1。$
（2）解：已知圆锥的高$h = 3\sqrt{3}\ \text{cm}，$由圆锥的母线长$l$、底面半径$r$和高$h$满足$l^2 = h^2 + r^2，$且$l = 2r，$则$(2r)^2=(3\sqrt{3})^2 + r^2，$即$4r^2=27 + r^2，$$3r^2 = 27，$解得$r = 3\ \text{cm}，$所以$l=2r = 6\ \text{cm}。$圆锥侧面积为$\frac{1}{2}\pi l^2=\frac{1}{2}\pi\times6^2 = 18\pi\ \text{cm}^2。$
（1）如图，连接AC，E为$\odot O_{1}$和扇形的切点。
因为扇形的弧长为$\frac{90\times\pi\times16}{180}=8\pi，$圆锥底面周长为$2\pi r，$所以$2\pi r = 8\pi，$解得$r = 4，$即$\odot O_{1}$的半径$O_{1}E=4\ \text{cm}。$
过$O_{1}$作$O_{1}F\perp CD$于点F，则$\triangle CO_{1}F$为等腰直角三角形，所以$O_{1}C=\sqrt{2}O_{1}F=\sqrt{2}O_{1}E = 4\sqrt{2}\ \text{cm}。$
因为$AE = AB=16\ \text{cm}，$所以制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为$AE + EO_{1}+O_{1}C=(20 + 4\sqrt{2})\ \text{cm}。$
又因为$20 + 4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}，$所以方案一不可行。
（2）方案二可行。求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为$r\ \text{cm}，$圆锥的母线长为$R\ \text{cm}。$
因为在边长为$16\ \text{cm}$的正方形纸片上，正方形对角线长为$16\sqrt{2}\ \text{cm}，$则$(1 + \sqrt{2})r+R=16\sqrt{2}，$①
又因为$2\pi r=\frac{2\pi R}{4}，$②
由①②可得$R=\frac{64\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}=\frac{320\sqrt{2}-128}{23}，$$r=\frac{16\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}=\frac{80\sqrt{2}-32}{23}。$
故所求圆锥的母线长为$\frac{320\sqrt{2}-128}{23}\ \text{cm}，$底面圆的半径为$\frac{80\sqrt{2}-32}{23}\ \text{cm}。$
解：（1）已知圆锥底面半径$r = 10\ \text{cm}，$高$h = 10\sqrt{15}\ \text{cm}。$
首先求圆锥的母线长$l，$根据勾股定理$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}，$可得：
$\begin{aligned}l&=\sqrt{10^{2}+(10\sqrt{15})^{2}}\\&=\sqrt{100 + 100\times15}\\&=\sqrt{100+1500}\\&=\sqrt{1600}\\& = 40\ \text{cm}\end{aligned}$
圆锥的底面积$S_{\text{底}}=\pi r^{2}=\pi\times10^{2} = 100\pi\ \text{cm}^{2}。$
圆锥的侧面积$S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi\times10\times40 = 400\pi\ \text{cm}^{2}。$
所以圆锥的全面积$S_{\text{全}}=S_{\text{底}}+S_{\text{侧}}=100\pi + 400\pi=500\pi\ \text{cm}^{2}。$
（2）沿母线$SA$将圆锥的侧面展开，线段$AM$的长就是蚂蚁所走的最短距离。
由（1）知$SA = 40\ \text{cm}，$底面圆的周长为$2\pi r=2\pi\times10 = 20\pi\ \text{cm}，$即展开图中弧$AA'$的长为$20\pi\ \text{cm}。$
设展开图扇形的圆心角为$n^{\circ}，$根据弧长公式$\dfrac{n\pi l}{180}=20\pi$（其中$l = SA=40\ \text{cm}$），可得：
$\dfrac{n\pi\times40}{180}=20\pi$
解得$n=\dfrac{180\times20\pi}{40\pi}=90^{\circ}，$即$\angle ASA' = 90^{\circ}。$
因为$SA'=SA = 40\ \text{cm}，$且$SM = 3A'M，$又因为$SA'=SM + A'M，$所以$SM+A'M=40\ \text{cm}，$将$SM = 3A'M$代入可得$3A'M+A'M=40\ \text{cm}，$即$4A'M = 40\ \text{cm}，$所以$A'M=10\ \text{cm}，$则$SM=3\times10 = 30\ \text{cm}。$
在$Rt\triangle ASM$中，$SA = 40\ \text{cm}，$$SM = 30\ \text{cm}，$根据勾股定理可得：
$AM=\sqrt{SA^{2}+SM^{2}}=\sqrt{40^{2}+30^{2}}=\sqrt{1600 + 900}=\sqrt{2500}=50\ \text{cm}$
所以，蚂蚁所走的最短距离是$50\ \text{cm}。$
综上，（1）圆锥的全面积为$500\pi\ \text{cm}^{2}；$（2）蚂蚁所走的最短距离是$50\ \text{cm}。$
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