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解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°。
∵OA=OB，∠BAC=40°，
∴∠OBA=∠BAC=40°。
∴∠AOB=180°-∠BAC-∠OBA=100°。
∵∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=80°。
解：连接$OB，$作$OE\perp AB$交$AB$于点$E。$
因为$AB$与小半圆相切且$OE\perp AB，$所以$OE$为小半圆的半径。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AE = EB=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2} = 8\,\text{cm}。$
设大半圆半径为$R，$小半圆半径为$r。$在$Rt\triangle OEB$中，由勾股定理得$OB^{2}=OE^{2}+EB^{2}，$即$R^{2}=r^{2}+8^{2}。$
阴影部分的面积$S_{\text{阴影}}=S_{\text{大半圆}}-S_{\text{小半圆}}。$
因为$S_{\text{大半圆}}=\frac{1}{2}\pi R^{2}，$$S_{\text{小半圆}}=\frac{1}{2}\pi r^{2}，$所以$S_{\text{阴影}}=\frac{1}{2}\pi(R^{2}-r^{2})。$
将$R^{2}=r^{2}+8^{2}$代入上式，可得$S_{\text{阴影}}=\frac{1}{2}\pi\times64 = 32\pi\,\text{cm}^{2}。$
答：图中阴影部分的面积为$32\pi\,\text{cm}^{2}。$
解：正方形边长为 $a，$其中心 $O$ 到各顶点的距离为对角线的一半，即 $\frac{\sqrt{2}}{2}a。$
翻滚一周过程中，中心 $O$ 经过4段等长的圆弧，每段圆弧的圆心角为 $90^\circ$（即 $\frac{\pi}{2}$ 弧度）。
每段圆弧长为：$\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\pi \sqrt{2}}{4}a$
4段圆弧总长为：$4 \times \frac{\pi \sqrt{2}}{4}a = \sqrt{2}\pi a$
答：正方形的中心 $O$ 所经过的路径长为 $\sqrt{2}\pi a。$
直线FC与$\odot O$相切，理由如下：
连接OC。
∵AB是$\odot O$的直径，AB⊥CD，
∴$\angle AEC=90^\circ，$$\angle ACE+\angle CAE=90^\circ。$
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴$\angle FCA=\angle ACE。$
∵OA=OC，
∴$\angle CAO=\angle ACO。$
∴$\angle FCA+\angle ACO=\angle ACE+\angle CAE=90^\circ，$即$\angle FCO=90^\circ。$
∵OC是$\odot O$的半径，
∴直线FC与$\odot O$相切。
解：直线FC与$\odot O$相切，理由如下：
连接OC。
∵AB是$\odot O$的直径，AB⊥CD，
∴$\angle AEC=90^\circ$，$\angle ACE+\angle CAE=90^\circ$。
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴$\angle FCA=\angle ACE$。
∵OA=OC，
∴$\angle CAO=\angle ACO$。
∴$\angle FCA+\angle ACO=\angle ACE+\angle CAE=90^\circ$，即$\angle FCO=90^\circ$。
∵OC是$\odot O$的半径，
∴直线FC与$\odot O$相切。
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