解:设$x$个月可以完工。
由题意,甲队原工作效率为$\frac{1}{12},$提高$40\%$后效率为$\frac{1}{12}\times(1 + 40\%)=\frac{140\%}{12};$乙队原工作效率为$\frac{1}{15},$提高$25\%$后效率为$\frac{1}{15}\times(1 + 25\%)=\frac{125\%}{15}。$
两队合作效率之和为$\frac{140\%}{12}+\frac{125\%}{15},$根据工作总量为$1,$可列方程:
$x\left(\frac{140\%}{12}+\frac{125\%}{15}\right)=1$
解得$x = 5。$
答:$5$个月可以完工。