第133页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

解：在$\triangle COB$和$\triangle FOE$中， $\begin{cases}CO = FO\\\angle COB=\angle FOE\\BO = EO\end{cases}$ 所以$\triangle COB\cong\triangle FOE(SAS)$。所以$\angle B=\angle E$。所以$AB// DF$（内错角相等，两直线平行）。因为$AB// DF$，所以$\angle ACE+\angle DEC = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。已知$\angle ACE = 70^{\circ}$，则$\angle DEC=180^{\circ}-\angle ACE$。即$\angle DEC = 180 - 70=110^{\circ}$。综上，$\angle DEC$的度数为$110^{\circ}$。

 设机器人行走的路程$BC = x\ cm。$

 因为小球滚动速度与机器人行走速度相等，且运动时间相同，所以小球滚动的路程$AC = BC = x\ cm。$

 已知$OA = 45\ cm，$则$OC = OA - AC = (45 - x)\ cm。$

 在$Rt\triangle OBC$中，$\angle AOB = 90^\circ，$$OB = 15\ cm，$由勾股定理得：

 $OB^2 + OC^2 = BC^2$

 即：

 $15^2 + (45 - x)^2 = x^2$

 展开并化简：

 $225 + 2025 - 90x + x^2 = x^2$

 $2250 - 90x = 0$

 解得：

 $x = 25$

 答：机器人行走的路程$BC$是$25\ cm。$

$AE=AF$（答案不唯一）。

证明：

因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，

所以$\angle EAD=\angle FAD$，

在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，

$\begin{cases}AE = AF,\\\angle EAD=\angle FAD,\\AD = AD.\end{cases}$

所以$\triangle AED\cong\triangle AFD(SAS)$。

$AE=AF$

首先，利用等腰三角形的性质和三角形外角定理：

因为$AB = BC$，根据等腰三角形两底角相等，$\angle A=\angle BCA = 10^{\circ}$。

再根据三角形外角定理$\angle CBD=\angle A+\angle BCA$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），所以$\angle CBD = 20^{\circ}$。

又因为$BC = CD$，所以$\angle CBD=\angle CDB = 20^{\circ}$。

则$\angle DCE=\angle A+\angle CDA=10^{\circ}+20^{\circ}=30^{\circ}$（$\angle CDA$与$\angle CDB$是对顶角，$\angle CDA=\angle CDB$）。

因为$CD = DE$，所以$\angle DCE=\angle DEC = 30^{\circ}$。

以此类推，设添加$n$根钢管。

第$n$个等腰三角形的底角为$10n^{\circ}$。

然后，考虑三角形内角和为$180^{\circ}$：

由于这些等腰三角形的底角要小于$90^{\circ}$（如果底角大于等于$90^{\circ}$，就无法再构成这样的等腰三角形了）。

令$10n\lt90$。

解不等式$n\lt9$。

又因为$n$为正整数，所以$n$的最大值为$8$。

所以最多能添这样的钢管$8$根。

设机器人行走的路程$BC = x\ cm$。
因为小球滚动速度与机器人行走速度相等，且运动时间相同，所以小球滚动的路程$AC = BC = x\ cm$。
已知$OA = 45\ cm$，则$OC = OA - AC = (45 - x)\ cm$。
在$Rt\triangle OBC$中，$\angle AOB = 90°$，$OB = 15\ cm$，由勾股定理得：
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
即：
$15^2 + (45 - x)^2 = x^2$
展开并化简：
$225 + 2025 - 90x + x^2 = x^2$
$2250 - 90x = 0$
解得：
$x = 25$
答：机器人行走的路程$BC$是$25\ cm$。