$BM + NC = MN$
延长 $AC$ 至 $E，$使得 $CE = BM，$连接 $DE。$
因为 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$\triangle BDC$ 是等腰三角形，$\angle BDC = 120^{\circ}，$
所以 $\angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}，$$\angle DBC = \angle DCB = 30^{\circ}，$
则 $\angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ}。$
在 $\triangle BDM$ 和 $\triangle CDE$ 中，
$BD = CD，$$\angle DBM = \angle DCE = 90^{\circ}，$$BM = CE，$
所以 $\triangle BDM \cong \triangle CDE(SAS)，$
所以 $DM = DE，$$\angle BDM = \angle CDE。$
因为 $\angle BDC = 120^{\circ}，$$\angle MDN = 60^{\circ}，$
所以 $\angle BDM + \angle NDC = \angle CDE + \angle NDC = \angle BDC - \angle MDN = 60^{\circ}，$
即 $\angle MDN = \angle NDE = 60^{\circ}。$
在 $\triangle MDN$ 和 $\triangle EDN$ 中，
$DM = DE，$$\angle MDN = \angle EDN，$$DN = DN，$
所以 $\triangle MDN \cong \triangle EDN(SAS)，$
所以 $MN = EN，$
又因为 $EN = NC + CE，$$CE = BM，$
所以 $BM + NC = MN。$
4
图形：在 $AB$ 的延长线上取点 $M，$在 $CA$ 的延长线上取点 $N，$连接 $MN，$$\angle MDN = 60^{\circ}。$
$MN = BM - NC$
在 $AB$ 上截取 $BF = CN，$连接 $DF。$
因为 $\angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ}，$$BD = CD，$$\angle BDC = 120^{\circ}，$
在 $\triangle BDF$ 和 $\triangle CDN$ 中，
$BD = CD，$$\angle DBF = \angle DCN = 90^{\circ}，$$BF = CN，$
所以 $\triangle BDF \cong \triangle CDN(SAS)，$
所以 $DF = DN，$$\angle BDF = \angle CDN。$
因为 $\angle BDC = 120^{\circ}，$$\angle MDN = 60^{\circ}，$
所以 $\angle BDF + \angle MDC = \angle CDN + \angle MDC = \angle BDC - \angle MDN = 60^{\circ}，$
即 $\angle FDM = \angle MDN = 60^{\circ}。$
在 $\triangle FDM$ 和 $\triangle NDM$ 中，
$DF = DN，$$\angle FDM = \angle NDM，$$DM = DM，$
所以 $\triangle FDM \cong \triangle NDM(SAS)，$
所以 $MN = FM，$
又因为 $FM = BM - BF，$$BF = CN，$
所以 $MN = BM - NC。$
