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 解:（1）将$ C(5,4) $代入$ y=ax^{2}-5x+4a ，$得$ 4=25a-25+4a ，$$ 29a=29 ，$$ a=1 ，$抛物线为$ y=x^{2}-5x+4 ，$配方得$ y=(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4} ，$顶点$ P(\frac{5}{2},-\frac{9}{4}) 。$

 （2）向左平移3个单位，向上平移4个单位，顶点变为$ (\frac{5}{2}-3,-\frac{9}{4}+4)=(-\frac{1}{2},\frac{7}{4}) ，$解析式为$ y=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4} $（答案不唯一）。

解: （1）运动时间$ x $秒，$ AP=2x ，$$ PB=18-2x ，$$ BQ=x ，$由$ BQ \leq BC=4 $得$ 0＜x \leq4 ，$面积$ y=\frac{1}{2}(18-2x)x=-x^{2}+9x 。$

 （2）$ y=-x^{2}+9x $开口向下，对称轴$ x=\frac{9}{2} ，$在$ 0＜x \leq4 $内，当$ x=4 $时，$ y=-16+36=20 ，$最大面积$ 20\ \text{cm}^2 。$

 解:（1）将$ A(2,0) ，$$ B(0,-1) ，$$ C(4,5) $代入得$ \begin{cases}4a+2b+c=0\\c=-1\\16a+4b+c=5\end{cases} ，$解得$ a=\frac{1}{2} ，$$ b=-\frac{1}{2} ，$$ c=-1 ，$解析式$ y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1 。$

 （2）令$ y=0 ，$$ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1=0 ，$$ x^{2}-x-2=0 ，$解得$ x=2 $或$ x=-1 ，$$ D(-1,0) 。$

 （3）联立$ y=x+1 $与抛物线得$ x+1=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1 ，$$ x^{2}-3x-4=0 ，$解得$ x=-1 $或$ 4 ，$当$ -1＜x＜4 $时一次函数值大于二次函数值。

解: （1）抛物线过原点$ c=0 ，$过$ A(2,0) $得$ 0=4+2b ，$$ b=-2 ，$解析式$ y=x^{2}-2x 。$

 （2）$ OA=2 ，$$ S_{\triangle OAB}=3 $得$ |y|=3 ，$$ y=3 $时$ x^{2}-2x=3 ，$$ x=3 $或$ x=-1 ，$点$ B(3,3) $或$ (-1,3) 。$