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$延长DN交AB延长线于H$
$∵N是BC中点,四边形ABCD是正方形,∴CN=BN,CD//AB$
$∴∠C=∠ABC$
$在△DNC和△HNB中$
${{\begin{cases} {{∠DNC=∠HNB}} \\ {CN=NB} \\ {∠C=∠ABC} \end{cases}}}$
$∴△DNC≌△HNB(\mathrm {ASA})$
$∴BH=CD,∠CDN=∠BHN$
$∵DM=BC+BM,MH=BM+BH,BC=CD$
$∴DM=MH$
$∴∠MDN=∠BHN$
$∴∠CDN=∠MDN$
$∴DN平分∠CDM$
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