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解：
因为$BD$、$CE$是高，所以$\angle BEC=\angle CDB = 90^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDB$中：
$\begin{cases}\angle BEC=\angle CDB\\\angle EBC=\angle DCB\\BC = CB\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEC\cong\triangle CDB$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BD = CE$。
解：
因为$BD$、$CE$是高，所以$\angle BEC=\angle CDB = 90^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDB$中：
$\begin{cases}\angle BEC=\angle CDB\\\angle EBC=\angle DCB\\BC = CB\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEC\cong\triangle CDB$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BD = CE$。
解：
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，
$\begin{cases}\angle 1 = \angle 2\\\angle AOB = \angle DOC\\AB = DC\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
所以$AO = DO$，$BO = CO$。
则$AO + CO = DO + BO$，即$AC = DB$。
解：
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，
$\begin{cases}\angle 1 = \angle 2\\\angle AOB = \angle DOC\\AB = DC\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
所以$AO = DO$，$BO = CO$。
则$AO + CO = DO + BO$，即$AC = DB$。
解：
因为$ED\perp AB$，$FC\perp AB$，所以$\angle ADE = \angle BCF = 90^{\circ}$。
又因为$AE// BF$，所以$\angle A=\angle B$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle BCF\\\angle A = \angle B\\AE = BF\end{cases}$
所以$\triangle ADE\cong\triangle BCF(AAS)$。
则$AD = BC$。
因为$AD=AC + CD$，$BC=BD + CD$，
所以$AC + CD=BD + CD$，
故$AC = BD$。
解：
因为$ED\perp AB$，$FC\perp AB$，所以$\angle ADE = \angle BCF = 90^{\circ}$。
又因为$AE// BF$，所以$\angle A=\angle B$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle BCF\\\angle A = \angle B\\AE = BF\end{cases}$
所以$\triangle ADE\cong\triangle BCF(AAS)$。
则$AD = BC$。
因为$AD=AC + CD$，$BC=BD + CD$，
所以$AC + CD=BD + CD$，
故$AC = BD$。
解：
$\triangle AOB\cong\triangle COD$，$\triangle AOD\cong\triangle COB$，$\triangle ABD\cong\triangle CDB$，$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
理由如下：
- 因为$AB// DC$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$。
- 因为$AB// DC$，所以$\angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中：
$\begin{cases}\angle OAB=\angle OCD\\AB = CD\\\angle OBA=\angle ODC\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$。
- 因为$AD// BC$，所以$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$。
在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中：
$\begin{cases}\angle OAD=\angle OCB\\AD = BC\\\angle ODA=\angle OBC\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle AOD\cong\triangle COB$。
- 在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中：
$\begin{cases}AB = CD\\AD = BC\\BD = DB\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle CDB$。
- 在$\triangle ABC$和$\triangle CDA$中：
$\begin{cases}AB = CD\\BC = AD\\AC = CA\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
解：
$\triangle AOB\cong\triangle COD$，$\triangle AOD\cong\triangle COB$，$\triangle ABD\cong\triangle CDB$，$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
理由如下：
- 因为$AB// DC$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$。
- 因为$AB// DC$，所以$\angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中：
$\begin{cases}\angle OAB=\angle OCD\\AB = CD\\\angle OBA=\angle ODC\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$。
- 因为$AD// BC$，所以$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$。
在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中：
$\begin{cases}\angle OAD=\angle OCB\\AD = BC\\\angle ODA=\angle OBC\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle AOD\cong\triangle COB$。
- 在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中：
$\begin{cases}AB = CD\\AD = BC\\BD = DB\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle CDB$。
- 在$\triangle ABC$和$\triangle CDA$中：
$\begin{cases}AB = CD\\BC = AD\\AC = CA\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
1. 首先，在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中：
已知$BC = ED$（题目所给条件）。
因为$\angle3=\angle4$，根据等角的补角相等，可得$\angle ABC = 180^{\circ}-\angle3$，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle4$，所以$\angle ABC=\angle AED$。
又已知$\angle1 = \angle2$。
根据三角形全等判定定理$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle1=\angle2\\BC = ED\\\angle ABC=\angle AED\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABC\cong\triangle AED(ASA)$。
2. 然后，由$\triangle ABC\cong\triangle AED$可得$AB = AE$，$AC = AD$：
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
已知$AB = AE$（由$\triangle ABC\cong\triangle AED$得到）。
$\angle1+\angle CAD=\angle2+\angle CAD$，即$\angle BAD=\angle EAC$。
$AD = AC$（由$\triangle ABC\cong\triangle AED$得到）。
根据三角形全等判定定理$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AE\\\angle BAD=\angle EAC\\AD = AC\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABD\cong\triangle AEC(SAS)$。
综上，全等三角形有$\triangle ABC\cong\triangle AED$（理由：$\angle1 = \angle2$，$BC = ED$，$\angle ABC=\angle AED$，根据$ASA$判定全等）；$\triangle ABD\cong\triangle AEC$（理由：$AB = AE$，$\angle BAD=\angle EAC$，$AD = AC$，根据$SAS$判定全等）。
1. 首先，在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中：
已知$BC = ED$（题目所给条件）。
因为$\angle3=\angle4$，根据等角的补角相等，可得$\angle ABC = 180^{\circ}-\angle3$，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle4$，所以$\angle ABC=\angle AED$。
又已知$\angle1 = \angle2$。
根据三角形全等判定定理$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle1=\angle2\\BC = ED\\\angle ABC=\angle AED\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABC\cong\triangle AED(ASA)$。
2. 然后，由$\triangle ABC\cong\triangle AED$可得$AB = AE$，$AC = AD$：
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，
已知$AB = AE$（由$\triangle ABC\cong\triangle AED$得到）。
$\angle1+\angle CAD=\angle2+\angle CAD$，即$\angle BAD=\angle EAC$。
$AD = AC$（由$\triangle ABC\cong\triangle AED$得到）。
根据三角形全等判定定理$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AE\\\angle BAD=\angle EAC\\AD = AC\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABD\cong\triangle AEC(SAS)$。
综上，全等三角形有$\triangle ABC\cong\triangle AED$（理由：$\angle1 = \angle2$，$BC = ED$，$\angle ABC=\angle AED$，根据$ASA$判定全等）；$\triangle ABD\cong\triangle AEC$（理由：$AB = AE$，$\angle BAD=\angle EAC$，$AD = AC$，根据$SAS$判定全等）。
证明：$\because AC=DB$，$\therefore AC-BC=DB-BC$，即$AB=DC$.
在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$AB=DC$，$AE=DF$，$BE=CF$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF$（$SSS$）. $\therefore \angle A=\angle D$. $\angle ABE=\angle DCF$.
$\because$ 点$A$，$B$，$C$，$D$在一条直线上，
$\therefore \angle ABE+\angle EBC=\angle DCF+ \angle FCB=180°$，
$\therefore \angle EBC=\angle FCB$. $\because \angle A=\angle D$，
$\therefore AE // DF$，$BE // CF$.
证明：$\because AC=DB$，$\therefore AC-BC=DB-BC$，即$AB=DC$.
在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$AB=DC$，$AE=DF$，$BE=CF$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF$（$SSS$）. $\therefore \angle A=\angle D$. $\angle ABE=\angle DCF$.
$\because$ 点$A$，$B$，$C$，$D$在一条直线上，
$\therefore \angle ABE+\angle EBC=\angle DCF+ \angle FCB=180°$，
$\therefore \angle EBC=\angle FCB$. $\because \angle A=\angle D$，
$\therefore AE // DF$，$BE // CF$.
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