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在。证明：由点$M$为$\angle BAD$和$\angle ABE$的平分线的交点，可得$MP=MF$，$MN=MF$，$\therefore MP=MN$，$\therefore$ 点$M$在$\angle C$的平分线上。

连接$AB$，作线段$AB$的垂直平分线交$CD$于点$P$。

解：

已知$AC = 9$，$AE:EC=2:1$，

根据比例关系可得$AE=\frac{2}{2 + 1}× AC$，

将$AC = 9$代入$AE=\frac{2}{2 + 1}× AC$中，

则$AE=\frac{2}{3}×9 = 6$。

因为$DE$是$AB$的垂直平分线，

根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，

所以$BE = AE$。

又因为$AE = 6$，

所以$BE = 6$。

即点$B$到点$E$的距离为$6$。

解：

已知$AC = 9$，$AE:EC=2:1$，

根据比例关系可得$AE=\frac{2}{2 + 1}× AC$，

将$AC = 9$代入$AE=\frac{2}{2 + 1}× AC$中，

则$AE=\frac{2}{3}×9 = 6$。

因为$DE$是$AB$的垂直平分线，

根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，

所以$BE = AE$。

又因为$AE = 6$，

所以$BE = 6$。

即点$B$到点$E$的距离为$6$。

证明：连接$AC$，$AD$。

$\because AF$垂直平分$CD$，

$\therefore AC=AD$。

在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，

$\begin{cases}AB=AE, \\BC=ED, \\AC=AD,\end{cases}$

$\therefore \triangle ABC\cong \triangle AED$。

$\therefore \angle B=\angle E$。