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（1）

（2）在
（3）不存在
解：
1. 首先证明$\triangle ABE\cong\triangle ACD$：
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，已知$AB = AC$，$\angle A=\angle A$（公共角），$AE = AD$。
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$\angle ABE=\angle ACD$。
2. 然后求$OB = OC$：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
又因为$\angle ABE=\angle ACD$，那么$\angle ABC-\angle ABE=\angle ACB - \angle ACD$，即$\angle OBC=\angle OCB$。
根据“等角对等边”，可得$OB = OC$。
3. 最后根据垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因为$OB = OC$，所以点$O$在线段$BC$的垂直平分线上。
解：
1. 首先证明$\triangle ABE\cong\triangle ACD$：
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，已知$AB = AC$，$\angle A=\angle A$（公共角），$AE = AD$。
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$\angle ABE=\angle ACD$。
2. 然后求$OB = OC$：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
又因为$\angle ABE=\angle ACD$，那么$\angle ABC-\angle ABE=\angle ACB - \angle ACD$，即$\angle OBC=\angle OCB$。
根据“等角对等边”，可得$OB = OC$。
3. 最后根据垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因为$OB = OC$，所以点$O$在线段$BC$的垂直平分线上。
（1）

（2）在
（3）不存在
（1）

（2）在
（3）不存在
证明：$\because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$DE = DF$，
$\therefore$点$D$在$\angle A$的平分线上。
又$\because AB = AC$，$\therefore BD = CD$，即$D$是$BC$的中点。
证明：$\because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$DE = DF$，
$\therefore$点$D$在$\angle A$的平分线上。
又$\because AB = AC$，$\therefore BD = CD$，即$D$是$BC$的中点。
解：连接$BD$，$CD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
因为$D$在$BC$的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases}BD = CD\\DE = DF\end{cases}$
根据“$HL$”（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BE = CF$。
解：连接$BD$，$CD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
因为$D$在$BC$的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases}BD = CD\\DE = DF\end{cases}$
根据“$HL$”（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BE = CF$。
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