解:因为$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$,
我们可以取$a = 1.5050050005\cdots$(相邻两个$5$之间$0$的个数逐次加$1$),
$1.414\lt1.5050050005\cdots\lt1.732$,
且$1.5050050005\cdots$是无理数,
所以$a = 1.5050050005\cdots$(相邻两个$5$之间$0$的个数逐次加$1$)满足$\sqrt{2}\lt a\lt\sqrt{3}$。
(答案不唯一,满足条件的无理数均可)