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$(1)$ 求$x$的值
解：根据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
由图可知，$x$所在的直角三角形的两直角边的平方分别为$81$和$100$，则$x^{2}=81 + 100$，即$x^{2}=181$，所以$x=\sqrt{181}$。
$(2)$ 求$y$的值
解：同样根据勾股定理，$y$所在直角三角形中，斜边平方为$169$，一条直角边平方为$144$，则$y^{2}=169 - 144$，即$y^{2}=25$，所以$y = 5$（因为$y$是边长，取正值）。
综上，$(1)$中$x=\boldsymbol{\sqrt{181}}$；$(2)$中$y=\boldsymbol{5}$。
（1）
解：根据圆柱中直角三角形的勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = 4$，$b = 4$，$c=x$）。
可得$x=\sqrt{4^{2}+4^{2}}$
$=\sqrt{16 + 16}$
$=\sqrt{32}$
$=4\sqrt{2}$
（2）
解：根据长方体中直角三角形的勾股定理。
先看底面直角三角形，其斜边$l=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+8^{2}}=\sqrt{48 + 64}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
再看由$l$、高$x$和长方体的体对角线$4\sqrt{7}$、$x$ 组成的直角三角形（体对角线为斜边），根据勾股定理$x=\sqrt{(4\sqrt{7})^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{112-48}$
$=\sqrt{64}$
$ = 8$
综上，（1）中$x = 4\sqrt{2}$；（2）中$x = 8$。
（1）
解：根据圆柱中直角三角形的勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = 4$，$b = 4$，$c=x$）。
可得$x=\sqrt{4^{2}+4^{2}}$
$=\sqrt{16 + 16}$
$=\sqrt{32}$
$=4\sqrt{2}$
（2）
解：根据长方体中直角三角形的勾股定理。
先看底面直角三角形，其斜边$l=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+8^{2}}=\sqrt{48 + 64}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
再看由$l$、高$x$和长方体的体对角线$4\sqrt{7}$、$x$ 组成的直角三角形（体对角线为斜边），根据勾股定理$x=\sqrt{(4\sqrt{7})^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{112-48}$
$=\sqrt{64}$
$ = 8$
综上，（1）中$x = 4\sqrt{2}$；（2）中$x = 8$。
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