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本题可根据函数图象的交点以及函数图象的位置关系来求解。
$(1)$求用车里程为多少时，甲、乙公司的租车费相等
函数图象的交点横坐标表示两车租车费相等时的用车里程。
由图可知，甲、乙两公司租车费函数图象的交点横坐标为$2000$，即当用车里程$x = 2000km$时，甲、乙公司的租车费相等。
$(2)$求用车里程为多少时，甲公司的租车费比乙公司少
当甲公司租车费函数图象在乙公司租车费函数图象下方时，甲公司的租车费比乙公司少。
由图可知，当$0\lt x\lt 2000$时，甲公司租车费函数图象在乙公司租车费函数图象下方，所以当$0\lt x\lt 2000$时，甲公司的租车费比乙公司少。
$(3)$求用车里程为多少时，乙公司的租车费比甲公司少
当乙公司租车费函数图象在甲公司租车费函数图象下方时，乙公司的租车费比甲公司少。
由图可知，当$x\gt 2000$时，乙公司租车费函数图象在甲公司租车费函数图象下方，所以当$x\gt 2000$时，乙公司的租车费比甲公司少。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2000km}$；$(2)$$\boldsymbol{0\lt x\lt 2000}$；$(3)$$\boldsymbol{x\gt 2000}$。
本题可根据函数图象的交点以及函数图象的位置关系来求解。
$(1)$求用车里程为多少时，甲、乙公司的租车费相等
函数图象的交点横坐标表示两车租车费相等时的用车里程。
由图可知，甲、乙两公司租车费函数图象的交点横坐标为$2000$，即当用车里程$x = 2000km$时，甲、乙公司的租车费相等。
$(2)$求用车里程为多少时，甲公司的租车费比乙公司少
当甲公司租车费函数图象在乙公司租车费函数图象下方时，甲公司的租车费比乙公司少。
由图可知，当$0\lt x\lt 2000$时，甲公司租车费函数图象在乙公司租车费函数图象下方，所以当$0\lt x\lt 2000$时，甲公司的租车费比乙公司少。
$(3)$求用车里程为多少时，乙公司的租车费比甲公司少
当乙公司租车费函数图象在甲公司租车费函数图象下方时，乙公司的租车费比甲公司少。
由图可知，当$x\gt 2000$时，乙公司租车费函数图象在甲公司租车费函数图象下方，所以当$x\gt 2000$时，乙公司的租车费比甲公司少。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2000km}$；$(2)$$\boldsymbol{0\lt x\lt 2000}$；$(3)$$\boldsymbol{x\gt 2000}$。
1. （1）
当$0\leq t\leq1$时：
动点$P(x,y)$从点$(0,1)$沿$y = 1$向右运动，速度是每秒$1$个单位长度，根据$x=x_0+vt$（$x_0 = 0$，$v = 1$），可得$x=t$。
2. （2）
解：
已知$A(-1,1)$，$B(1,1)$，则正方形$ABCD$的边长$AB=\vert1 - (-1)\vert=2$。
当$t = 3$时，点$P$的坐标为$(1,-1)$；当$t = 5$时，点$P$的坐标为$(-1,-1)$。
设当$3\leq t\leq5$时，$x$关于$t$的函数表达式为$x = kt + b$。
把$\begin{cases}t = 3,x = 1\\t = 5,x=-1\end{cases}$代入$x = kt + b$中，得到方程组$\begin{cases}3k + b=1\\5k + b=-1\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：$(5k + b)-(3k + b)=-1 - 1$。
即$5k + b-3k - b=-2$，化简得$2k=-2$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$3k + b=1$中，得$3×(-1)+b = 1$，即$-3 + b=1$，解得$b = 4$。
所以（1）$x=t(0\leq t\leq1)$；（2）$x=-t + 4(3\leq t\leq5)$。
1. （1）
当$0\leq t\leq1$时：
动点$P(x,y)$从点$(0,1)$沿$y = 1$向右运动，速度是每秒$1$个单位长度，根据$x=x_0+vt$（$x_0 = 0$，$v = 1$），可得$x=t$。
2. （2）
解：
已知$A(-1,1)$，$B(1,1)$，则正方形$ABCD$的边长$AB=\vert1 - (-1)\vert=2$。
当$t = 3$时，点$P$的坐标为$(1,-1)$；当$t = 5$时，点$P$的坐标为$(-1,-1)$。
设当$3\leq t\leq5$时，$x$关于$t$的函数表达式为$x = kt + b$。
把$\begin{cases}t = 3,x = 1\\t = 5,x=-1\end{cases}$代入$x = kt + b$中，得到方程组$\begin{cases}3k + b=1\\5k + b=-1\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：$(5k + b)-(3k + b)=-1 - 1$。
即$5k + b-3k - b=-2$，化简得$2k=-2$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$3k + b=1$中，得$3×(-1)+b = 1$，即$-3 + b=1$，解得$b = 4$。
所以（1）$x=t(0\leq t\leq1)$；（2）$x=-t + 4(3\leq t\leq5)$。
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