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 证明：$\because OE \perp AB，$$\therefore AE=BE$（垂径定理），即$E$为$AB$中点。

 $\because OF \perp AC，$$\therefore AF=CF$（垂径定理），即$F$为$AC$中点。

 $\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，

 $\therefore EF // BC，$$EF=\frac{1}{2}BC。$

$解:过O_{1}作O_{1}C⊥x轴 $

$易知,AC=BC=2$

$∴AO_{1}=\sqrt {AC^{2}+O_{1}C^{2}}=3$

$解:过O作OC⊥AB于C并连接OA$

$OC=\sqrt {OA^{2}-AC^{2}}=3\ \mathrm {cm}$

$∴3\ \mathrm {cm}≤OA≤5\ \mathrm {cm}$

$解:(1)连接BO$

$易知,BO^{2}=OF^{2}+BE^{2},解得BO=5\ \mathrm {cm}$

$(2)BC=\sqrt {BE^{2}+EC^{2}}=4\sqrt {5}\ \mathrm {cm}$

$由BC×OF=BE×OC解得OF=\sqrt {5}\ \mathrm {cm}$