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证明 （1）连接OC。因为AC是$\angle BAD$的平分线，所以$\angle CAD=\angle BAC。$

 因为$OA=OC，$所以$\angle OCA=\angle BAC，$则$\angle OCA=\angle CAD，$故$OC// AD。$

 因为$\angle D=90^\circ，$所以$\angle OCD=180^\circ-\angle D=90^\circ，$即$OC\perp CD，$

 又因为OC是$\odot O$的半径，所以CD是$\odot O$的切线。

 （2）因为$\angle DCA=60^\circ，$$\angle OCD=90^\circ，$所以$\angle OCA=30^\circ。$

 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=90^\circ，$则$\angle OCB=\angle ACB-\angle OCA=60^\circ。$

 因为$OC=OB，$所以$\triangle OCB$是等边三角形，$OC=BC=3，$$\angle COB=60^\circ。$

 所以$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60\pi\times3}{180}=\pi。$

 证明:（1）连接OC。因为CP是$\odot O$的切线，所以$\angle OCP=90^\circ，$则$\angle PCB+\angle OCB=90^\circ。$

 因为AB是直径，$AB\perp DC，$所以$\angle AFD=90^\circ，$$\angle PAD+\angle ADF=90^\circ。$

 因为$\angle ADF=\angle ABC$（同弧所对的圆周角相等），且$OB=OC，$$\angle ABC=\angle OCB，$所以$\angle ADF=\angle OCB，$

 从而$\angle PCB=\angle PAD。$

 （2）因为$\odot O$的直径为4，所以半径$OC=OD=2。$

 因为DC平分半径OB，所以$OF=\frac{1}{2}OB=1。$

 在$Rt\triangle ODF$中，$\cos\angle DOF=\frac{OF}{OD}=\frac{1}{2}，$所以$\angle DOF=60^\circ，$

 则阴影部分面积$=S_{扇形 BOC}=\frac{60\pi\times2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}。$

解: （1）因为$\odot P$与OA、OB相切，切点为C、D，所以$PC\perp OA，$$PD\perp OB，$$PC=PD=3。$

 因为$\angle AOB=60^\circ，$所以$\angle CPD=120^\circ，$劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{120\pi\times3}{180}=2\pi。$

 （2）过点P作$PG\perp OB$于G，连接PE。因为EF=4$\sqrt{2}，$所以$EG=\frac{1}{2}EF=2\sqrt{2}。$

 在$Rt\triangle PGE$中，$PG=\sqrt{PE^2-EG^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1。$

 在$Rt\triangle OPG$中，$OP=\frac{PG}{\sin60^\circ}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，$

 则$OC=OP\cos60^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$OC=\frac{5\sqrt{3}}{3}。$