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 证明:（1）$\Delta=(-2k)^2 - 4\times1\times(\frac{1}{2}k^2 - 2)=4k^2 - 2k^2 + 8=2k^2 + 8，$因为$2k^2 + 8＞0，$所以方程总有两个不相等的实数根；

（2）因为$x_1$是方程的根，所以$x_1^2 - 2kx_1=-\frac{1}{2}k^2 + 2，$又$x_1x_2=\frac{1}{2}k^2 - 2，$代入$x_1^2 - 2kx_1 + 2x_1x_2=5$得$(-\frac{1}{2}k^2 + 2) + 2\times(\frac{1}{2}k^2 - 2)=5，$即$-\frac{1}{2}k^2 + 2 + k^2 - 4=5，$$\frac{1}{2}k^2 - 2=5，$$k^2=14，$解得$k=\pm\sqrt{14}$

解: 不赞成。

四名同学分别记为七（A）、八（B）、九（C）、九（D），所有可能的前两名结果为：

(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),

(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)，

共12种等可能结果，其中前两名都是九年级同学的结果有(C,D),(D,C)2种，概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\neq\frac{1}{2}$

解: （1）m=25， 

（2）1800×(10÷100)=180人；

（3）列表如下：

甲乙、甲丙、甲丁、

乙丙、乙丁、丙丁，

共6种等可能结果，

甲乙同时被选中的结果有1种，概率为$\frac{1}{6}$