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解：​$(1)$​抛物线​$y=-x^2+bx$​的顶点横坐标为​$\frac {b}{2}，$​抛物线​$y=-x^2+2x$​的顶点横坐标为​$1，$​
∴​$\frac {b}{2}=1+1，$​解得​$b=4。$​
​$ (2)$​∵点​$A(x_{1}，y_{1})$​在抛物线​$y=-x^2+2x$​上，点​$B(x_{1}+t，y_{1}+h)$​在抛物线​$y=-x^2+4x$​上，
∴​$y_{1}=-x_{1}^2+2x_{1}，$​​$y_{1}+h=-(x_{1}+t)^2+4(x_{1}+t)。$​整理得​$h=-t^2-2x_{1}t+2x_{1}+4t。$​
①
∵​$h=3t，$​
∴​$3t=-t^2-2x_{1}t+2x_{1}+4t，$​即​$t(t+2x_{1})=t+2x_{1}。$​
∵​$x_{1}≥0，$​​$t＞0，$​
∴​$t+2x_{1}＞0，$​
∴​$t=1，$​
∴​$h=3×1=3。$​
​$ ②$​将​$x_{1}=t-1$​代入​$h，$​得
​$h=-t^2-2(t-1)t+2(t-1)+4t=-3t^2+8t-2=-3(t-\frac {4}{3})^2+\frac {10}{3}。$​
∵​$-3＜0，$​
∴当​$t=\frac {4}{3}$​时，​$h $​取最大值​$\frac {10}{3}$​
（1）解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠BAC=∠ADC，∠ACB=∠DCA=90°，
∴△ACB∽△DCA。
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}。$
∵AC=$\sqrt{6}，$BD=5，DC=BD-BC=5-BC，
∴$\frac{BC}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{5-BC}，$解得$BC=2$或$3。$
∵AC＞DC，当BC=2时，DC=3（舍去）；
当BC=3时，DC=2（符合），
∴BC=3。
（2）证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°。
∵∠BAC=∠BDA，
∴∠EAG=∠BDA+∠ABC=90°。
由（1）△ACB∽△DCA，得$\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DA}，$
∴$AC\cdot DA=DC\cdot AB。$
∵DE·AM=AC·AD，
∴$DE\cdot AM=DC\cdot AB，$$\frac{AM}{DC}=\frac{AB}{DE}。$
∵∠BAC=∠BDA，即∠BAM=∠EDC，
∴△AMB∽△DCE。
∴∠ABM=∠E。
∵∠EGA=∠BGN，∠EAG=∠BNG=90°，
∴BM⊥CE
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