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$0 ＜ m ＜ 4$

 解：把$A(2,4)$代入$y = ax^2$中，得$4 = 4a，$解得$a = 1。$

 ∴抛物线对应的函数表达式为$y = x^2。$

设点$C$的横坐标为$m(m ＞ 0)，$则易得$CD = CE = 2m。$

 ∴点$E$的坐标为$(m,4 - 2m)。$

 ∵点$E$在抛物线$y = x^2$上，

 ∴$m^2 = 4 - 2m，$即$m^2 + 2m - 4 = 0，$

解得$m_1 = -1 - \sqrt{5}$（不合题意，舍去），$m_2 = -1 + \sqrt{5}。$

 ∴$CD = 2m = -2 + 2\sqrt{5}$

 解：（1）∵二次函数图像的顶点在原点，

 ∴可设二次函数的表达式为$y = ax^2。$

将$(2,1)$代入函数表达式，得$a = \frac{1}{4}。$

 ∴二次函数的表达式为$y = \frac{1}{4}x^2$

 （2）将$y = 1$代入$y = \frac{1}{4}x^2，$得$x = ±2。$

 ∴点$M$、$N$的坐标分别为$(-2,1)$、$(2,1)，$此时$MN = 2 - (-2) = 4。$

 ∵$\triangle PMN$是等边三角形，

 ∴点$P$在$y$轴上，且$PM = 4。$

 ∴$PF = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}。$

 ∵点$F$的坐标为$(0,1)，$

 ∴点$P$的坐标为$(0,1 + 2\sqrt{3})$或$(0,1 - 2\sqrt{3})$