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第39页

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$3 - \sqrt{5}$

是

解$：(2)F $是线段$BC$的黄金分割点$，$理由$：$

∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AB=CD=2，BC=AD=4.$

∴在$Rt△ABC$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt {AB²+BC²}= \sqrt {2²+4²}=2\sqrt {5}.$

由折叠，得$AE=AB=2.$

∴$CE=AC-AE=2\sqrt {5}-2.$

∴$ CF=CE=2\sqrt {5}-2.$

∴$CF²=(2\sqrt {5}-2)²=24-8\sqrt {5}，$

$BF×BC=(BC-CF)×BC=(4-2\sqrt {5}+2)×4=24-8\sqrt {5}$

∴$CF²=BF·BC，$即$\frac {BF}{CF}=\frac {CF}{BC}$

∴$F $是线段$BC$的黄金分割点

证明：$(1)$设$BC=x(x＞0)，$则$AB=2x，$$CD=BC=x。$

在$Rt△ABC$中，由勾股定理，得

$AC=\sqrt {BC^2 + AB^2}=\sqrt {x^2 + (2x)^2}=\sqrt {5}x。$

∵$AD=AC - CD=\sqrt {5}x - x，$$AE=AD，$

∴$AE=\sqrt {5}x - x。$

∴$\frac {AE}{AB}=\frac {\sqrt {5}x - x}{2x}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}。$

$(2)$如图：