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第50页

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$\frac{16}{5}$

$\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$

证明：$ (1)$连接$OC、$$OD。$

因为$OC=OD，$

所以$∠OCD=∠ODC。$

因为$CE=DF，$

所以$\triangle OCE \cong \triangle ODF(\mathrm {SAS})。$

所以$OE=OF，$$∠OEF=∠OFE。$

因为$\triangle OEF $的内角和为$180^\circ ，$

所以$∠OEF=\frac {1}{2}(180^\circ -∠EOF)。$

因为$OA=OB，$

所以$∠OAB=∠OBA。$

同理可证$∠OAB=\frac {1}{2}(180^\circ -∠EOF)，$

所以$∠OEF=∠OAB。$

因此$AB // CD。$

$ (2)$连接$BD、$$AF。$

因为$\widehat {AB}=\widehat {BD}，$

所以$AB=BD。$

又因为$OA=OB=OD，$

所以$\triangle AOB \cong \triangle BOD(\mathrm {SSS})，$$∠OAB=∠OBA。$

所以$∠OAB=∠OBD，$因此$∠OBA=∠OBD。$

因为$CD // AB，$

所以$∠DFB=∠OBA，$因此$∠DFB=∠OBD。$

所以$DF=BD，$因此$AB=DF。$

因为$∠OAB=∠OBD，$$∠DFB=∠OBA，$

所以$\triangle OBA \sim \triangle DFB。$

所以$\frac {AB}{BF}=\frac {OB}{DF}，$因此$\frac {AB}{BF}=\frac {OB}{AB}，$即$AB^2=BF ·OB。$