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第51页

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$(-4,0)$或$(1,0)$或$(-1,0)$

证明：延长$BE，$交$AC$于点$F。$

因为$\angle ABE=\angle C，$$\angle BAE=\angle CAD，$

所以$\triangle ABE \sim \triangle ACD。$

所以$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}。$

因为$\angle BAE=\angle CAD，$

所以$\angle BAE+\angle DAE=\angle CAD+\angle DAE，$即$\angle BAD=\angle FAE。$

因为$\angle AEF=\angle ABE+\angle BAE，$$\angle ADB=\angle CAD+\angle C，$

所以$\angle AEF=\angle ADB。$

因此$\triangle EAF \sim \triangle DAB。$

所以$\frac{EF}{DB}=\frac{AE}{AD}。$

因此$\frac{BE}{CD}=\frac{EF}{DB}。$

因为$D$是$BC$的中点，

所以所以$BE=EF。$因此$DE$是$\triangle BCF$的中位线，

所以$DE // AC。$

证明：连接$EF，$设$PF=m，$$PE=n。$

因为点$P$是$\triangle ABC$的重心，

所以$E$、$F$分别为$AC$、$BC$的中点。

所以$EF$为$\triangle ABC$的中位线，

因此$EF // AB，$$EF=\frac{1}{2}AB，$$AE=\frac{1}{2}AC，$$BF=\frac{1}{2}BC。$

因为$BC=a，$$AC=b，$$AB=c，$

所以$AE=\frac{1}{2}b，$$BF=\frac{1}{2}a，$$EF=\frac{1}{2}c。$

因为$EF // AB，$

所以$\angle EFP=\angle BAP，$$\angle FEP=\angle ABP。$

因此$\triangle EFP \sim \triangle BAP。$

所以$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}，$即$\frac{n}{PB}=\frac{m}{PA}=\frac{1}{2}。$

所以$PB=2n，$$PA=2m。$

因为$AF \perp BE，$

所以在$Rt\triangle AEP$中，由勾股定理得

$PE^2+PA^2=AE^2，$即$n^2+(2m)^2=(\frac{1}{2}b)^2，$

整理得$n^2+4m^2=\frac{1}{4}b^2$①。

在$Rt\triangle BFP$中，由勾股定理得$PF^2+PB^2=BF^2，$

即$m^2+(2n)^2=(\frac{1}{2}a)^2，$整理得$m^2+4n^2=\frac{1}{4}a^2$②。

①+②得$5(m^2+n^2)=\frac{1}{4}(a^2+b^2)。$

在$Rt\triangle EFP$中，由勾股定理得$PE^2+PF^2=EF^2，$

即$m^2+n^2=(\frac{1}{2}c)^2=\frac{1}{4}c^2。$

所以$5\times\frac{1}{4}c^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)，$即$a^2+b^2=5c^2。$