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$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{3}$
24
​$ \frac {1}{2^{2026}}$​
解：连接BD．
∵AE=$\frac{1}{4}$AC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{3}$．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD，BA=CD，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BAC}=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$．
∴易得△AEG∽△CED．
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AG}{CD}=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{AG}{BA}=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{BG}{BA}=\frac{2}{3}，$$S_{\triangle ADG}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}$．
同理，可得$\frac{BH}{BC}=\frac{2}{3}$．
∴$\frac{BG}{BA}=\frac{BH}{BC}$．
∵∠GBH=∠ABC，
∴△BGH∽△BAC．
∴$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle BAC}}=(\frac{BG}{BA})^2=\frac{4}{9}$．
∴$S_{\triangle BGH}=\frac{4}{9}S_{\triangle BAC}=\frac{4}{9}S_{\triangle ABD}$．
∴$\frac{S_{\triangle ADG}}{S_{\triangle BGH}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}}{\frac{4}{9}S_{\triangle ABD}}=\frac{1}{3}\times\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
解：如图，过点D作DF//BC交AC于点F．
∵AD=2DB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$．
∵DF//BC，
∴△AFD∽△ACB．
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}，$$\frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2$．
∴$\frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle ACB}}=\frac{4}{9}$．
设$S_{\triangle AFD}=4S，$则$S_{\triangle ACB}=9S$．
∵DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACB}=\frac{9}{2}S$．
∴$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle AFD}}=\frac{AE}{AF}=\frac{\frac{9}{2}S}{4S}=\frac{9}{8}$．
∴$\frac{AF}{AC}\times\frac{AE}{AF}=\frac{2}{3}\times\frac{9}{8}，$即$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}$．
∴$\frac{AE}{EC}=3$
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