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第54页

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$\frac{1}{3}$

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 解：过点A作$AH \perp BC$于点H，交GF于点M。

 $\because \triangle ABC$的面积是6，$BC=4，$

 $\therefore \frac{1}{2} \times 4 \times AH = 6，$解得$AH=3。$

 $\because$ 四边形DEFG是正方形，

 $\therefore GF=DG，$$GF // DE，$即$GF // BC，$

 $\therefore AH \perp GF，$易得$GF=DG=MH。$

 设正方形DEFG的边长为$x，$则$GF=MH=x，$$AM=3-x。$

 $\because GF // BC，$

 $\therefore \triangle AGF \backsim \triangle ABC，$

 $\therefore \frac{GF}{BC} = \frac{AM}{AH}，$即$\frac{x}{4} = \frac{3-x}{3}，$

 解得$x=\frac{12}{7}。$

 $\therefore$ 正方形DEFG的边长为$\frac{12}{7}。$