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证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠BAD=90°，DC//AB．
∴∠EDH+∠ADB=90°，∠EDH=∠ABD．
∵AE⊥BD，
∴∠AHD=90°．
∴在Rt△AHD中，∠DAE+∠ADB=90°．
∴∠EDH=∠DAE．
∴∠DAE=∠ABD．
∴△DAE∽△ABD．
∴$\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$．
∴$AD^2=DE·AB$
证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB//CD，AD=BC．
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°．
∴△AMB∽△AND．
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$．
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{BC}，$即$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$①．
∵AB//CD，
∴∠BAN=∠AND=90°．
∴∠BAM+∠MAN=90°．
∵在Rt△AMB中，∠B+∠BAM=90°，
∴∠MAN=∠B②．
由①②得△AMN∽△BAC，
∴$\frac{AM}{BA}=\frac{MN}{AC}$
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=AD，∠D=∠B．
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B．
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB．
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{CE}{BE}$．
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CE}{BE}$．
∴AC·BE=CE·AD
证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠MBC．
∴∠ABD=∠MBC．
∵AB=AD，AM⊥BD，
∴MB=DM=$\frac{1}{2}$BD．
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°．
∴在Rt△BCD中，CM=$\frac{1}{2}$BD．
∴MB=CM．
∴∠MBC=∠BCM．
∴∠ABD=∠BCM
（2）∵∠BNM=∠CNB，∠NBM=∠NCB，
∴△NBM∽△NCB．
∴$\frac{BN}{CN}=\frac{MB}{BC}$．
∵MB=DM，
∴$\frac{BN}{CN}=\frac{DM}{BC}$．
∴BC·BN=CN·DM
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