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证明：∵DE//BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$．
∵EF//CD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$．
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}$．
∴$AD^2=AF·AB$．
∴AD是AB和AF的比例中项
证明： （1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC=6．
∴△ABE∽△DFE．
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DE}$．
∵AB=4，DF=2，
∴$\frac{4}{2}=\frac{AE}{6 - AE}，$解得AE=4
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∴△AOB∽△COF．
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OF}$．
同理可证△AOE∽△COB．
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}$．
∴$\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}，$即$OB^2=OF·OE$
证明：∵DE//BC，
∴△PDE∽△PBC．
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{PE}{PC}，$即PD·PC=PB·PE．
∵DF//AC，
∴△PDF∽△PAC．
∴$\frac{PD}{PA}=\frac{PF}{PC}，$即PD·PC=PA·PF．
∴PE·PB=PA·PF．
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠CBD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°．
∴∠ACD=∠CBD．
∴△ADC∽△CDB．
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$．
∴$CD^2=AD·BD$．
∵BG⊥AE，CD⊥AB，
∴∠ADE=∠BDF=90°，∠EGF=90°．
∵∠DFB=∠EFG，
∴∠DBF=∠E．
∴△ADE∽△FDB．
∴$\frac{AD}{FD}=\frac{ED}{BD}$．
∴AD·BD=ED·FD．
∴$CD^2=ED·FD$
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